Considere uma lista com todos os anagramas formados com estas seis letras: ABBCCC. Sorteando-se um desses anagramas, a probabilidade de as duas letras B estarem juntas e ao lado de cada letra B estar uma letra C é de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Temos as letras: uma
, duas e três . Ou seja, a multiconjunto de letras é . - A pergunta: ao sortear uniformemente um anagrama (todas as permutações distintas dessas seis letras), qual a probabilidade de as duas letras
estarem juntas e, além disso, ao lado de cada letra haver uma letra ?
Observações importantes extraídas do enunciado:
- A coleção total de anagramas inclui apenas as permutações distintas (letras idênticas não geram anagramas diferentes).
- A condição "as duas letras
estarem juntas e ao lado de cada letra estar uma letra " significa que, quando as duas estão lado a lado, cada uma delas tem um adjacente no lado externo. Isso corresponde ao bloco consecutivo acontecendo em alguma posição do anagrama (não bastam juntas sem os externos, nem na ponta).
Passo 2
Calcular o número total de anagramas distintos possíveis (espaço amostral).
Fórmula para permutações de
objetos com repetições: se há
objetos no total e eles se repartem em classes de tamanhos
então o número de permutações distintas é
Aqui
, com
,
,
. Assim
Calculemos:
logo
Portanto há
anagramas distintos no total.
Passo 3
Interpretar rigorosamente o evento favorável e justificar a forma que vamos contar.
A condição pede que as duas
estejam juntas e que ao lado de cada
haja um
. Se as
estão coladas, elas aparecem como substring
. Para que cada
tenha um
ao lado, é preciso que exista um
imediatamente à esquerda do primeiro
e um
imediatamente à direita do segundo
. Assim o padrão necessário é a substring consecutiva
Outras configurações não servem: por exemplo,
na extremidade (como início da palavra) não tem dois vizinhos, e o simples fato de as
estarem juntas não garante
em ambos os lados. Então vamos contar quantos anagramas contêm a substring
como bloco contínuo.
Passo 4
Contar as permutações favoráveis que contêm a substring
.
A substring
tem comprimento
. Em uma palavra de comprimento
ela pode começar na posição
,
ou
. Ou seja, há
posições possíveis para que esse bloco ocupe posições consecutivas.
Depois de fixar esse bloco de
letras, restam
posições livres que devem ser preenchidas pelas letras que sobraram do conjunto original. Do total original
usamos na substring dois
e dois
, sobrando exatamente uma
e uma
.
Assim, para cada colocação do bloco, as duas posições restantes são ocupadas por
em alguma ordem. Como
e
são diferentes, há exatamente
maneiras de preencher essas duas posições (ou
na primeira e
na segunda, ou vice-versa).
Logo o número de anagramas favoráveis é
Um comentário sobre contagem cuidadosa: não houve dupla contagem apesar das letras repetidas porque contamos placements distintos do bloco (posições diferentes do bloco geram permutações distintas) e, para cada placement, as escolhas de
e da
restante nas duas vagas são duas e distintas. As
são idênticas entre si, então não multiplicamos indevidamente.
Passo 5
Calcular a probabilidade pedida e converter para porcentagem.
A probabilidade é
Convertendo para porcentagem:
Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (E).
Resposta
(E)