Considere uma lista com todos os anagramas formados com estas seis letras: ABBCCC. Sorteando-se um desses anagramas, a probabilidade de as duas letras B estarem juntas e ao lado de cada letra B estar uma letra C é de
(A) 12 \%
(B) 7 \%
(C) 5 \%
(D) 9 \%
(E) 10 \%

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos as letras: uma A, duas B e três C. Ou seja, a multiconjunto de letras é \{A, B, B, C, C, C\}.
  • A pergunta: ao sortear uniformemente um anagrama (todas as permutações distintas dessas seis letras), qual a probabilidade de as duas letras B estarem juntas e, além disso, ao lado de cada letra B haver uma letra C?
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A coleção total de anagramas inclui apenas as permutações distintas (letras idênticas não geram anagramas diferentes).
  • A condição "as duas letras B estarem juntas e ao lado de cada letra B estar uma letra C" significa que, quando as duas B estão lado a lado, cada uma delas tem um C adjacente no lado externo. Isso corresponde ao bloco consecutivo \mathrm{C}\,\mathrm{B}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C} acontecendo em alguma posição do anagrama (não bastam B juntas sem os C externos, nem B na ponta).

Passo 2

Calcular o número total de anagramas distintos possíveis (espaço amostral).
Fórmula para permutações de n objetos com repetições: se há n objetos no total e eles se repartem em classes de tamanhos n_1,n_2,\dots então o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}.
Aqui n=6, com n_A=1, n_B=2, n_C=3. Assim
N_{\text{total}}=\frac{6!}{1!\,2!\,3!}.
Calculemos:
6!=720,\qquad 1!\cdot2!\cdot3!=1\cdot2\cdot6=12,
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N_{\text{total}}=\frac{720}{12}=60.
Portanto há 60 anagramas distintos no total.

Passo 3

Interpretar rigorosamente o evento favorável e justificar a forma que vamos contar.
A condição pede que as duas B estejam juntas e que ao lado de cada B haja um C. Se as B estão coladas, elas aparecem como substring \mathrm{B}\,\mathrm{B}. Para que cada B tenha um C ao lado, é preciso que exista um C imediatamente à esquerda do primeiro B e um C imediatamente à direita do segundo B. Assim o padrão necessário é a substring consecutiva
\mathrm{C}\,\mathrm{B}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C}.
Outras configurações não servem: por exemplo, B na extremidade (como início da palavra) não tem dois vizinhos, e o simples fato de as B estarem juntas não garante C em ambos os lados. Então vamos contar quantos anagramas contêm a substring \mathrm{C}\,\mathrm{B}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C} como bloco contínuo.

Passo 4

Contar as permutações favoráveis que contêm a substring \mathrm{C}\,\mathrm{B}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C}.
A substring \mathrm{C}\,\mathrm{B}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C} tem comprimento 4. Em uma palavra de comprimento 6 ela pode começar na posição 1, 2 ou 3. Ou seja, há 3 posições possíveis para que esse bloco ocupe posições consecutivas.
Depois de fixar esse bloco de 4 letras, restam 2 posições livres que devem ser preenchidas pelas letras que sobraram do conjunto original. Do total original \{A, B, B, C, C, C\} usamos na substring dois B e dois C, sobrando exatamente uma A e uma C.
Assim, para cada colocação do bloco, as duas posições restantes são ocupadas por \{A,C\} em alguma ordem. Como A e C são diferentes, há exatamente 2 maneiras de preencher essas duas posições (ou A na primeira e C na segunda, ou vice-versa).
Logo o número de anagramas favoráveis é
N_{\text{fav}}=3\times 2 = 6.
Um comentário sobre contagem cuidadosa: não houve dupla contagem apesar das letras repetidas porque contamos placements distintos do bloco (posições diferentes do bloco geram permutações distintas) e, para cada placement, as escolhas de A e da C restante nas duas vagas são duas e distintas. As C são idênticas entre si, então não multiplicamos indevidamente.

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida e converter para porcentagem.
A probabilidade é
P=\frac{N_{\text{fav}}}{N_{\text{total}}}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}.
Convertendo para porcentagem:
\frac{1}{10}=10\%.
Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) 10\%

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