Dois dados no formato de octaedros regulares são idênticos e equilibrados. Em cada dado, uma face é numerada com 1, duas faces com 2, uma face com 3, uma face com 4 e três faces com 5. No lançamento simultâneo desses dois dados, a probabilidade de se obter faces cuja soma dos números seja 6 é igual a
(A) \frac{11}{64}
(B) \frac{1}{32}
(C) 3
\overline{16}
(D) \frac{3}{32}

Passo 1

O enunciado fornece um lançamento simultâneo de dois dados octaédricos idênticos e equilibrados. Para cada dado, as faces estão numeradas com as seguintes multiplicidades (peguei esses números do enunciado):
  • 1 aparece em 1 face;
  • 2 aparece em 2 faces;
  • 3 aparece em 1 face;
  • 4 aparece em 1 face;
  • 5 aparece em 3 faces.
Cada dado tem 8 faces ao todo. A pergunta é: qual a probabilidade de que, ao lançar os dois dados simultaneamente, a soma dos números nas faces obtidas seja igual a 6? (há opções múltipla escolha: (A) \dfrac{11}{64}, (B) \dfrac{1}{32}, (C) 3\overline{16} [formato estranho], (D) \dfrac{3}{32}.)

Passo 2

Primeiro vamos transformar as multiplicidades em probabilidades para um único dado. Como o dado é equilibrado, cada face individual tem probabilidade igual, então a probabilidade de sair um certo número é a quantidade de faces com esse número dividida por 8.
Definindo n_1,n_2,n_3,n_4,n_5 como as multiplicidades, temos (peguei os n_i do enunciado):
n_1=1,\quad n_2=2,\quad n_3=1,\quad n_4=1,\quad n_5=3.
Portanto as probabilidades individuais são
P(1)=\dfrac{1}{8},\quad P(2)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4},\quad P(3)=\dfrac{1}{8},\quad P(4)=\dfrac{1}{8},\quad P(5)=\dfrac{3}{8}.
Explicação didática rápida: para um dado equilibrado, “probabilidade de sair um número” = “número de faces com esse número” dividido por “total de faces”. Aqui o total é 8, então essa divisão dá a probabilidade.

Passo 3

Agora vamos listar todas as combinações possíveis (ordenadas) dos resultados dos dois dados cuja soma é 6. Como os dois dados são lançados simultaneamente e são distinguíveis (primeiro e segundo dado), devemos considerar pares ordenados (i,j).
As somas i+j=6 admitem as seguintes combinações ordenadas:
(1,5),\quad (2,4),\quad (3,3),\quad (4,2),\quad (5,1).
Importante didático: tratamos pares ordenados porque (1,5) e (5,1) são eventos diferentes quando se considera qual dado mostrou cada número. Para eventos independentes (o resultado de um dado não afeta o outro), a probabilidade do par (i,j) é P(i)\cdot P(j).

Passo 4

Calcular a probabilidade de cada par usando a regra da multiplicação (independência):
P(1,5)=P(1)P(5)=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{64},
P(5,1)=P(5)P(1)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{64}.
Somando os dois (porque são eventos disjuntos):
P(1,5)+P(5,1)=\dfrac{3}{64}+\dfrac{3}{64}=\dfrac{6}{64}.
Para (2,4) e (4,2):
P(2,4)=P(2)P(4)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{64},
P(4,2)=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{64},
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P(2,4)+P(4,2)=\dfrac{2}{64}+\dfrac{2}{64}=\dfrac{4}{64}.
Para (3,3):
P(3,3)=P(3)^2=\left(\dfrac{1}{8}\right)^2=\dfrac{1}{64}.

Passo 5

Somando todas as contribuições para a soma 6:
P(\text{soma}=6)=\dfrac{6}{64}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{11}{64}.
Verificação rápida: o espaço amostral tem 8\times8=64 resultados ordenados igualmente possíveis se preferir pensar em contagem direta; a soma 6 aparece com multiplicidade 11 desses 64 resultados (isso é coerente com o cálculo por probabilidades acima).

Resposta

(A) \dfrac{11}{64}

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