Dois dados no formato de octaedros regulares são idênticos e equilibrados. Em cada dado, uma face é numerada com 1, duas faces com 2, uma face com 3, uma face com 4 e três faces com 5. No lançamento simultâneo desses dois dados, a probabilidade de se obter faces cuja soma dos números seja 6 é igual a
(A) \frac{11}{64}
(B) \frac{1}{32}
(C) 3 \overline{16}
(D) \frac{3}{32}
Passo 1
O enunciado fornece um lançamento simultâneo de dois dados octaédricos idênticos e equilibrados. Para cada dado, as faces estão numeradas com as seguintes multiplicidades (peguei esses números do enunciado):
1 aparece em 1 face;
2 aparece em 2 faces;
3 aparece em 1 face;
4 aparece em 1 face;
5 aparece em 3 faces.
Cada dado tem 8 faces ao todo. A pergunta é: qual a probabilidade de que, ao lançar os dois dados simultaneamente, a soma dos números nas faces obtidas seja igual a 6? (há opções múltipla escolha: (A) \dfrac{11}{64}, (B) \dfrac{1}{32}, (C) 3\overline{16} [formato estranho], (D) \dfrac{3}{32}.)
Passo 2
Primeiro vamos transformar as multiplicidades em probabilidades para um único dado. Como o dado é equilibrado, cada face individual tem probabilidade igual, então a probabilidade de sair um certo número é a quantidade de faces com esse número dividida por 8.
Definindo n_1,n_2,n_3,n_4,n_5 como as multiplicidades, temos (peguei os n_i do enunciado):
Explicação didática rápida: para um dado equilibrado, “probabilidade de sair um número” = “número de faces com esse número” dividido por “total de faces”. Aqui o total é 8, então essa divisão dá a probabilidade.
Passo 3
Agora vamos listar todas as combinações possíveis (ordenadas) dos resultados dos dois dados cuja soma é 6. Como os dois dados são lançados simultaneamente e são distinguíveis (primeiro e segundo dado), devemos considerar pares ordenados (i,j).
As somas i+j=6 admitem as seguintes combinações ordenadas:
Importante didático: tratamos pares ordenados porque (1,5) e (5,1) são eventos diferentes quando se considera qual dado mostrou cada número. Para eventos independentes (o resultado de um dado não afeta o outro), a probabilidade do par (i,j) é P(i)\cdot P(j).
Passo 4
Calcular a probabilidade de cada par usando a regra da multiplicação (independência):
Verificação rápida: o espaço amostral tem 8\times8=64 resultados ordenados igualmente possíveis se preferir pensar em contagem direta; a soma 6 aparece com multiplicidade 11 desses 64 resultados (isso é coerente com o cálculo por probabilidades acima).