- Considere um lote de peças que contém
de defeituosas. Extraímos ao acaso três peças com reposição para análise. Seja
a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas. Estabeleça a função de probabilidade de X e represente graficamente. Resp.: 0.512; 0.384; 0.096; 0.008
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.\
- O enunciado diz que um lote tem
de peças defeituosas.\ - Extraímos
peças ao acaso, com reposição (ou seja, cada retirada é independente).\ - A variável aleatória
conta o número de peças defeituosas entre as retiradas.\
O que precisamos: estabelecer a função de probabilidade de(ou seja, para cada possível) e representá-la graficamente.\
Dados relevantes listados:(probabilidade de defeito em cada peça), (número de ensaios), valores possíveis de : .
Passo 2
Qual modelo usar e por quê — fórmula que vamos aplicar.\
Como temos um número fixo de ensaios independentes ( ), cada ensaio com duas possibilidades (defeituosa ou não) e a mesma probabilidade de sucesso (defeito)
,
segue uma distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
Como temos um número fixo de ensaios independentes (
onde:
Explicando cada símbolo:
é o número total de ensaios (
),
é o número de sucessos (defeitos) que queremos a probabilidade,
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (
),
é a probabilidade de falha (peça não defeituosa, aqui
). O fator
conta de quantas formas diferentes os
defeitos podem ocorrer nas
retiradas.
Passo 3
Calcular os coeficientes binomiais
para
.\
Usando a fórmula de combinações:
Usando a fórmula de combinações:
Aqui
(fatorial) significa
e
.
Passo 4
Aplicar a fórmula para cada
e fazer as contas passo a passo.
Para
:
Calcule
e
. Logo
Para
:
Já sabemos
. Então
. Logo
Para
:
Calcule
. Então
. Logo
Para
:
Calcule
. Logo
Verificação rápida (soma das probabilidades deve dar 1):
Passo 5
Representação gráfica (barra de frequência simples, escala aproximada). Cada linha mostra
e uma barra proporcional (usei escala de 25 caracteres para facilitar a visualização):
(Interpretação: a barra maior em
indica que é mais provável obter nenhuma peça defeituosa nas três retiradas; as barras são apenas uma forma visual rápida de comparar as probabilidades.)
Passo 6
Dica prática para a prova (receita curta que você pode decorar): identificar
e
; reconhecer que é binomial (ensaios independentes e mesma
); usar
calcular
e as potências de
e
, e sempre conferir se as probabilidades somam
. Você já conseguiu — vai dar certo!