1. Considere um lote de peças que contém 20 \% de defeituosas. Extraímos ao acaso três peças com reposição para análise. Seja X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas. Estabeleça a função de probabilidade de X e represente graficamente. Resp.: 0.512; 0.384; 0.096; 0.008

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.\
  • O enunciado diz que um lote tem 20\% de peças defeituosas.\
  • Extraímos 3 peças ao acaso, com reposição (ou seja, cada retirada é independente).\
  • A variável aleatória X conta o número de peças defeituosas entre as 3 retiradas.\
    O que precisamos: estabelecer a função de probabilidade de X (ou seja, P(X=k) para cada k possível) e representá-la graficamente.\
    Dados relevantes listados: p=0{,}2 (probabilidade de defeito em cada peça), n=3 (número de ensaios), valores possíveis de X: 0,1,2,3.

Passo 2

Qual modelo usar e por quê — fórmula que vamos aplicar.\
Como temos um número fixo de ensaios independentes ( n=3), cada ensaio com duas possibilidades (defeituosa ou não) e a mesma probabilidade de sucesso (defeito) p=0{,}2, X segue uma distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando cada símbolo: n é o número total de ensaios ( 3), k é o número de sucessos (defeitos) que queremos a probabilidade, p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio ( 0{,}2), 1-p é a probabilidade de falha (peça não defeituosa, aqui 0{,}8). O fator \binom{n}{k} conta de quantas formas diferentes os k defeitos podem ocorrer nas n retiradas.

Passo 3

Calcular os coeficientes binomiais \binom{3}{k} para k=0,1,2,3.\
Usando a fórmula de combinações:
\binom{3}{0}=\frac{3!}{0!3!}=1,
\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!2!}=3,
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=3,
\binom{3}{3}=\frac{3!}{3!0!}=1.
Aqui m! (fatorial) significa m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot1 e 0!=1.

Passo 4

Aplicar a fórmula para cada k e fazer as contas passo a passo.
Para k=0:
P(X=0)=\binom{3}{0}(0{,}2)^{0}(0{,}8)^{3}=1\cdot 1\cdot (0{,}8)^{3}.
Calcule (0{,}8)^{2}=0{,}64 e (0{,}8)^{3}=0{,}64\cdot0{,}8=0{,}512. Logo
P(X=0)=0{,}512.
Para k=1:
P(X=1)=\binom{3}{1}(0{,}2)^{1}(0{,}8)^{2}=3\cdot 0{,}2\cdot (0{,}8)^{2}.
Já sabemos (0{,}8)^{2}=0{,}64. Então 3\cdot0{,}2\cdot0{,}64=3\cdot0{,}128=0{,}384. Logo
P(X=1)=0{,}384.
Para k=2:
P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}2)^{2}(0{,}8)^{1}=3\cdot (0{,}2)^{2}\cdot0{,}8.
Calcule (0{,}2)^{2}=0{,}04. Então 3\cdot0{,}04\cdot0{,}8=3\cdot0{,}032=0{,}096. Logo
P(X=2)=0{,}096.
Para k=3:
P(X=3)=\binom{3}{3}(0{,}2)^{3}(0{,}8)^{0}=1\cdot (0{,}2)^{3}\cdot1.
Calcule (0{,}2)^{3}=0{,}008. Logo
P(X=3)=0{,}008.
Verificação rápida (soma das probabilidades deve dar 1):
0{,}512+0{,}384+0{,}096+0{,}008=1{,}000.

Passo 5

Representação gráfica (barra de frequência simples, escala aproximada). Cada linha mostra P(X=k) e uma barra proporcional (usei escala de 25 caracteres para facilitar a visualização):
P(X=0)=0{,}512 \ \ \ ################## (13 hashes)
P(X=1)=0{,}384 \ \ \ ############### (10 hashes)
P(X=2)=0{,}096 \ \ \ ## (2 hashes)
P(X=3)=0{,}008 \ \ \ # (1 hash)
(Interpretação: a barra maior em k=0 indica que é mais provável obter nenhuma peça defeituosa nas três retiradas; as barras são apenas uma forma visual rápida de comparar as probabilidades.)

Passo 6

Dica prática para a prova (receita curta que você pode decorar): identificar n e p; reconhecer que é binomial (ensaios independentes e mesma p); usar
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
calcular \binom{n}{k} e as potências de p e 1-p, e sempre conferir se as probabilidades somam 1. Você já conseguiu — vai dar certo!

Resposta

P(X=0)=0{,}512
P(X=1)=0{,}384
P(X=2)=0{,}096
P(X=3)=0{,}008

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