As falhas na fundação de um grande edifício podem ser de dois tipos: A (capacidade de suportar) e B (fundação excessiva). Sabendo-se que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0.001, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.008 \mathrm{e} \mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=0.1, determine a probabilidade:
a) de haver falha na fundação;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
P(A)=0{,}001, P(B)=0{,}008 e P(A\mid B)=0{,}1.
A pergunta é: qual é a probabilidade de haver falha na fundação? Aqui entendemos “haver falha” como ocorrer pelo menos um dos tipos de falha, isto é, o evento A\cup B (A ou B ou ambos). Listei as informações relevantes acima para não nos perdermos.

Passo 2

Precisamos achar P(A\cap B) (probabilidade de acontecerem A e B ao mesmo tempo). Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Isolando P(A\cap B) temos
P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B).
Substituindo os números dados:
P(A\cap B)=0{,}1\cdot 0{,}008=0{,}0008.
Interpretação: a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e B é 0{,}0008.

Passo 3

Para obter a probabilidade de ocorrer pelo menos uma falha ( A\cup B) usamos a fórmula da união de dois eventos (princípio da inclusão-exclusão):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explico por que: se somássemos P(A)+P(B) estaríamos contando duas vezes os cenários em que A e B ocorrem juntos, então subtraímos P(A\cap B) para corrigir isso.
Agora aplicamos numericamente:
P(A)+P(B)=0{,}001+0{,}008=0{,}009,
P(A\cup B)=0{,}009-0{,}0008=0{,}0082.

Passo 4

Interpretação final: a probabilidade de haver falha na fundação é 0{,}0082, ou seja, 0{,}82\% (aproximadamente menos de 1% — ainda assim algo a considerar em projeto de edifício grande!).

Resposta

0{,}0082

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