Considere
um espaço métrico,
uma sequência em
e
. Mostre que, se
Passo 1
O enunciado considera um espaço métrico
, uma sequência
em
e um ponto
. Queremos mostrar que, se as subsequências de índices pares e de índices ímpares convergem para
, então a sequência inteira converge para
. O conteúdo usado é a definição de convergência em espaço métrico via critério
-
.
Passo 2
Pela hipótese de convergência da subsequência par
, temos:
Significa que, para todo
, existe
tal que, para todo
,
Passo 3
De modo análogo, pela convergência da subsequência ímpar
,
significa que, para todo
, existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Para mostrar
, peguemos qualquer
. Escolhemos
Agora, para todo
temos dois casos:
- Se
é par, escrevemos . Então
e, pela definição da subsequência par,
- Se
é ímpar, escrevemos . Então
e, pela definição da subsequência ímpar,
Em ambos os casos,
sempre que
.
Resposta
Concluímos que