Considere (M, d) um espaço métrico, \left(x_{n}\right) uma sequência em M e p \in M. Mostre que, se
\lim x_{2 n}=p \text { e } \lim x_{2 n-1}=p

Passo 1

O enunciado considera um espaço métrico (M,d), uma sequência \bigl(x_n\bigr) em M e um ponto p\in M. Queremos mostrar que, se as subsequências de índices pares e de índices ímpares convergem para p, então a sequência inteira converge para p. O conteúdo usado é a definição de convergência em espaço métrico via critério \varepsilon- N.

Passo 2

Pela hipótese de convergência da subsequência par \bigl(x_{2n}\bigr), temos:
\lim_{n\to\infty}x_{2n}=p
Significa que, para todo \varepsilon>0, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
d\bigl(x_{2n},\,p\bigr)<\varepsilon.

Passo 3

De modo análogo, pela convergência da subsequência ímpar \bigl(x_{2n-1}\bigr),
\lim_{n\to\infty}x_{2n-1}=p
significa que, para todo \varepsilon>0, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
d\bigl(x_{2n-1},\,p\bigr)<\varepsilon.

Passo 4

Para mostrar \lim_{n\to\infty}x_n=p, peguemos qualquer \varepsilon>0. Escolhemos
N = \max\{\,2N_1,\;2N_2-1\}.
Agora, para todo n\ge N temos dois casos:
  1. Se n é par, escrevemos n=2k. Então
n\ge2N_1\implies k\ge N_1
e, pela definição da subsequência par,
d\bigl(x_n,p\bigr)=d\bigl(x_{2k},p\bigr)<\varepsilon.
  1. Se n é ímpar, escrevemos n=2k-1. Então
n\ge2N_2-1\implies k\ge N_2
e, pela definição da subsequência ímpar,
d\bigl(x_n,p\bigr)=d\bigl(x_{2k-1},p\bigr)<\varepsilon.
Em ambos os casos, d(x_n,p)<\varepsilon sempre que n\ge N.

Resposta

Concluímos que
\lim_{n\to\infty}x_n = p.

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