Considere ( M, d ) um espaço métrico e A \subset M. Nesse contexto, mostre que \bar{A}=\operatorname{int}(A) \cup F_{r}(A).
Passo 1
Resumindo o que temos e o que queremos provar. Seja (M,d) um espaço métrico e A\subset M. Definimos \overline{A} como o fecho de A, ou seja, o conjunto de todos os pontos x\in M tais que toda bola aberta centrada em x intercepta A. Definimos
\operatorname{int}(A)
como o interior de A, ou seja, o conjunto de todos os pontos x\in A que possuem uma bola aberta centrada em x inteiramente contida em A. E F_{r}(A) é a fronteira (boundary) de A, ou seja,
F_{r}(A)=\{x\in M\mid \text{toda bola em }x\text{ intercepta tanto }A\text{ quanto }M\setminus A\}.
– Se existir algum r>0 tal que B(x,r)\subset A, então x\in\operatorname{int}(A) e portanto x pertence ao lado direito.
– Caso contrário, para todo r>0 não ocorre B(x,r)\subset A, ou seja, cada bola B(x,r) intercepta também M\setminus A. Juntando isso com o fato de que B(x,r)\cap A\neq\emptyset, concluímos que x intercepta ambos A e M\setminus A em toda vizinhança. Logo x\in F_{r}(A).
Assim x\in\operatorname{int}(A)\cup F_{r}(A), provando a inclusão desejada.
– Se x\in\operatorname{int}(A), então existe r>0 com B(x,r)\subset A. Logo, para todo \rho>0, B(x,\rho) intercepta A (pode até conter inteiramente A), o que implica x\in\overline{A}.
– Se x\in F_{r}(A), pela definição de fronteira temos que toda bola em x intercepta A. Logo também x\in\overline{A}.
Com isso concluímos a segunda inclusão.