Considere ( M, d ) um espaço métrico e A \subset M. Nessas condições, mostre que F_{r}\left(A^{c}\right)=F_{r}(A).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço métrico (M,d) e para qualquer A\subset M, vale
F_{r}\bigl(A^{c}\bigr)=F_{r}(A).
Aqui F_{r}(A) é a “fronteira grossa” (ou r-boundary) de A, que se define usando distâncias a A e a seu complemento. Vamos escrever a definição e verificar a igualdade trocando A por A^c.

Passo 2

Definição da fronteira grossa de raio r:
F_{r}(A) =\{\,x\in M : d(x,A)\le r\\ \text{e}\\ d(x,A^{c})\le r\,\}.
Em palavras, são todos os pontos de M que ficam a no máximo r tanto de A quanto de seu complemento A^c.

Passo 3

Agora escrevemos F_{r}\bigl(A^{c}\bigr) trocando A por A^c na definição:
F_{r}\bigl(A^{c}\bigr) =\{\,x\in M : d\bigl(x,A^{c}\bigr)\le r\\ \text{e}\\ d\bigl(x,(A^{c})^{c}\bigr)\le r\,\}.

Passo 4

Observamos que (A^{c})^{c}=A. Portanto a condição
d\bigl(x,(A^{c})^{c}\bigr)\le r
é exatamente
d(x,A)\le r.
Assim a descrição de F_{r}\bigl(A^{c}\bigr) fica idêntica à de F_{r}(A):
F_{r}\bigl(A^{c}\bigr) =\{\,x\in M : d(x,A^{c})\le r\\ \text{e}\\ d(x,A)\le r\,\} =F_{r}(A).

Resposta

F_{r}\bigl(A^{c}\bigr)=F_{r}(A).

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