Considere \mathbb{R} com a métrica euclidiana e a, b \in \mathbb{R}, com a<b. Nessas condições, determine a fronteira dos seguintes conjuntos:
(c) C=[a,+\infty);
Passo 1
O enunciado pede a fronteira do conjunto C = [a,+\infty) em \mathbb{R} com a métrica euclidiana. Para isso, vamos usar as definições de interior, aderência e fronteira de um conjunto em espaços métricos.
Passo 2
O interior de C, denotado por \operatorname{int}\text{(C)}, é o maior aberto contido em C. Como todo ponto x>a tem um pequeno intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) contido em [a,+\infty), concluímos
\operatorname{int}\text{(C)} = (a,+\infty).
Passo 3
A aderência de C, denotada por \overline{C}, é o menor fechado que contém C. Já que C é fechado (contém todos os seus pontos-limites, em particular o ponto a), temos
\overline{C} = [a,+\infty).
Passo 4
A fronteira de C é definida por
\partial C = \overline{C} \setminus \operatorname{int}\text{(C)}.
Aplicando isso aos resultados anteriores,
\partial C = [a,+\infty) \setminus (a,+\infty) = \{a\}.