Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
9876543 ;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: base \beta=10, números de ponto flutuante com t=4 algarismos significativos, expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5.
  • Pedido: escrever a representação em ponto flutuante do número 9876543 no sistema acima, nos dois modos de aproximação: truncamento (chopping) e arredondamento (round-to-nearest).
Informações relevantes extraídas:
  • Precisamos normalizar o número e reduzir a mantissa para t=4 dígitos significativos.
  • Depois devemos verificar se o expoente necessário está dentro do intervalo permitido; se não estiver, haverá overflow (não se pode representar um número finito).

Passo 2

Como é a forma normalizada que vamos usar (explicação didática):
  • Em base \beta=10 e com t=4 dígitos significativos, uma representação normalizada tem a forma
\pm(d_0.d_1d_2d_3)_{10}\times 10^{e},
onde d_0\in\{1,2,\dots,9\} (ou seja, o primeiro dígito da mantissa é não nulo) e os d_i são dígitos 0 a 9. Essa forma tem exatamente t=4 algarismos significativos: d_0,d_1,d_2,d_3.
  • Truncamento (chopping): mantém-se apenas os primeiros t algarismos significativos da mantissa, descartando os restantes sem alterar o último dígito mantido.
  • Arredondamento (round-to-nearest): olha-se o (t+1)-ésimo dígito; se ele for \ge 5 incrementa-se o t-ésimo dígito (com possíveis arrastes), se for <5 deixa-se o t-ésimo dígito inalterado.

Passo 3

Escrever 9876543 em forma científica normalizada (antes de cortar para t=4 dígitos):
  • Posicionar a vírgula de modo que haja um dígito não nulo antes do ponto decimal:
9876543 = 9{,}876543 \times 10^{6}.
Aqui a mantissa completa é 9{,}876543 e o expoente necessário é e=6.

Passo 4

Aplicar o truncamento para t=4 dígitos significativos (mostrando o procedimento):
  • Mantendo apenas os primeiros 4 algarismos significativos de 9{,}876543, obtemos a mantissa truncada
9{,}876.
  • Então, se o expoente e=6 fosse permitido, a forma truncada seria
9{,}876 \times 10^{6}.

Passo 5

Aplicar o arredondamento para t=4 dígitos significativos (procedimento detalhado):
  • Olhamos o quinto dígito significativo da mantissa original 9{,}876543. Os quatro primeiros são 9,8,7,6 e o quinto dígito é 5.
  • Pela regra de arredondamento para o mais próximo, como o quinto dígito é 5 (isto é, \ge 5), incrementamos o quarto dígito (o último mantido). Assim:
9{,}8765 \; \xrightarrow{\text{arredond.}} \; 9{,}877.
  • Logo, se o expoente e=6 fosse permitido, a forma arredondada seria
9{,}877 \times 10^{6}.

Passo 6

Verificar os limites do expoente e concluir sobre representabilidade:
  • O expoente necessário para representar 9876543 na forma normalizada é e=6.
  • O sistema só permite expoentes no intervalo -5 \le e \le +5. Logo e=6 está fora do intervalo máximo +5.
  • Calcular o maior número finito representável neste sistema (para termos uma comparação):
    • A maior mantissa possível com t=4 é 9{,}999.
    • Com e_{\max}=+5 o maior número finito representável é
    x_{\max} = 9{,}999 \times 10^{5} = 999900.
  • Comparando: 9876543 > 999900,portanto 9876543 excede o maior número finito representável; isso significa overflow.
  • Consequência prática: nem a versão truncada nem a versão arredondada são representáveis como número finito no sistema dado — o sistema produz overflow (ou trataria como infinito positivo, dependendo da convenção da máquina).

Resposta

Truncamento: não representável (overflow).
Arredondamento: não representável (overflow).

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