Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base
, mantissa com
dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo
. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
9876543 ;
9876543 ;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: base
, números de ponto flutuante com algarismos significativos, expoente inteiro no intervalo . - Pedido: escrever a representação em ponto flutuante do número
no sistema acima, nos dois modos de aproximação: truncamento (chopping) e arredondamento (round-to-nearest).
Informações relevantes extraídas:
- Precisamos normalizar o número e reduzir a mantissa para
dígitos significativos. - Depois devemos verificar se o expoente necessário está dentro do intervalo permitido; se não estiver, haverá overflow (não se pode representar um número finito).
Passo 2
Como é a forma normalizada que vamos usar (explicação didática):
- Em base
e com dígitos significativos, uma representação normalizada tem a forma
onde
(ou seja, o primeiro dígito da mantissa é não nulo) e os
são dígitos
a
. Essa forma tem exatamente
algarismos significativos:
.
- Truncamento (chopping): mantém-se apenas os primeiros
algarismos significativos da mantissa, descartando os restantes sem alterar o último dígito mantido. - Arredondamento (round-to-nearest): olha-se o
-ésimo dígito; se ele for incrementa-se o -ésimo dígito (com possíveis arrastes), se for deixa-se o -ésimo dígito inalterado.
Passo 3
Escrever
em forma científica normalizada (antes de cortar para
dígitos):
- Posicionar a vírgula de modo que haja um dígito não nulo antes do ponto decimal:
Aqui a mantissa completa é
e o expoente necessário é
.
Passo 4
Aplicar o truncamento para
dígitos significativos (mostrando o procedimento):
- Mantendo apenas os primeiros
algarismos significativos de , obtemos a mantissa truncada
- Então, se o expoente
fosse permitido, a forma truncada seria
Passo 5
Aplicar o arredondamento para
dígitos significativos (procedimento detalhado):
- Olhamos o quinto dígito significativo da mantissa original
. Os quatro primeiros são e o quinto dígito é . - Pela regra de arredondamento para o mais próximo, como o quinto dígito é
(isto é, ), incrementamos o quarto dígito (o último mantido). Assim:
- Logo, se o expoente
fosse permitido, a forma arredondada seria
Passo 6
Verificar os limites do expoente e concluir sobre representabilidade:
- O expoente necessário para representar
na forma normalizada é . - O sistema só permite expoentes no intervalo
. Logo está fora do intervalo máximo . - Calcular o maior número finito representável neste sistema (para termos uma comparação):
- A maior mantissa possível com
é . - Com
o maior número finito representável é
- A maior mantissa possível com
- Comparando:
portanto excede o maior número finito representável; isso significa overflow. - Consequência prática: nem a versão truncada nem a versão arredondada são representáveis como número finito no sistema dado — o sistema produz overflow (ou trataria como infinito positivo, dependendo da convenção da máquina).
Resposta
Truncamento: não representável (overflow).
Arredondamento: não representável (overflow).
Arredondamento: não representável (overflow).