Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
0.0000123 ;

Passo 1

O enunciado dá um número e pede a sua representação no formato de ponto flutuante da máquina com as características seguintes:
  • base \beta=10;
  • mantissa com t=4 dígitos significativos;
  • expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5.
O que se pede explicitamente:
  • escrever a representação em ponto flutuante de 0{,}0000123 usando truncamento (corte) da mantissa;
  • escrever a representação em ponto flutuante de 0{,}0000123 usando arredondamento da mantissa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a mantissa deve ter exatamente t=4 dígitos significativos;
  • o formato normalizado exige que o primeiro dígito da mantissa seja não nulo (ou seja, seja um dígito entre 1 e 9);
  • o expoente resultante tem de ficar dentro de -5 a +5.

Passo 2

Relembrando como é o formato de ponto flutuante que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Um número normalizado em base \beta=10 com t dígitos é escrito como
\pm d_1 . d_2 d_3 \dots d_t \times 10^{e},
onde d_1 é um dígito não-nulo ( 1\le d_1\le 9) e cada d_i é um dígito decimal ( 0 a 9). Aqui a mantissa tem exatamente t dígitos: d_1,d_2,\dots,d_t.
  • Truncamento: mantém-se os primeiros t dígitos da expansão da mantissa e descarta-se o resto (sem aumentar o último dígito).
  • Arredondamento para o mais próximo (regra usual): observa-se o dígito imediatamente após o t-ésimo. Se esse dígito for \ge 5, incrementa-se o t-ésimo dígito (com propagação de carries, se necessário); se for <5, mantém-se os t dígitos. Se não houver dígitos após o t-ésimo (ou todos forem zeros), truncamento e arredondamento resultam no mesmo valor.
  • Se durante o arredondamento ocorrer um carry que faz d_1 virar 10, normaliza-se novamente (por exemplo, 9{,}999 arredondado pode virar 1{,}000\times10^{e+1}) — sempre verificar se o novo expoente fica dentro do intervalo permitido [-5,+5].

Passo 3

Converter o número dado para uma forma normalizada antes de aplicar truncamento/arredondamento:
  • O número fornecido é 0{,}0000123.
  • Mover a vírgula para obter a forma com um único dígito não nulo antes do ponto decimal:
0{,}0000123 = 1{,}23 \times 10^{-5}.
(Explicação: para passar de 0{,}0000123 para 1{,}23 foi preciso deslocar a vírgula 5 casas para a direita, daí o expoente -5.)
Verificar o expoente: e=-5 está dentro do intervalo permitido [-5,+5], logo não há underflow/exceção por expoente fora do intervalo.

Passo 4

Determinar os t=4 dígitos significativos da mantissa a partir de 1{,}23\times10^{-5}:
  • A expansão decimais de 1{,}23 tem, explicitamente, os dígitos 1,2,3 seguidos de zeros implícitos: 1{,}23000\ldots.
  • Para ter exatamente t=4 dígitos, preenche-se com zeros à direita até completar 4 dígitos: a mantissa com 4 dígitos fica 1{,}230 (isto é, d_1=1,d_2=2,d_3=3,d_4=0).
  • Não há dígitos não-zero além do quarto: todos os dígitos seguintes são zeros. Portanto truncamento e arredondamento terão o mesmo efeito (pois não existe dígito >=5 depois do quarto para forçar incremento).

Passo 5

Aplicar truncamento e arredondamento explicitamente:
  • Truncamento: pegar os primeiros 4 dígitos da mantissa 1{,}23000\ldots 1{,}230. Resultado:
+1{,}230\times10^{-5}.
  • Arredondamento (para o mais próximo): o dígito imediatamente após o quarto é 0 (menor que 5), logo não há incremento. Resultado:
+1{,}230\times10^{-5}.
Também é útil apresentar a máquina-estrutura: sinal +, mantissa d_1d_2d_3d_4 = 1\,2\,3\,0, expoente e=-5.

Resposta

Truncamento: +1{,}230\times10^{-5}
Arredondamento: +1{,}230\times10^{-5}

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