Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
1234.5678 ;

Passo 1

O enunciado pede: escrever a representação em ponto flutuante, no sistema com base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos e expoente inteiro no intervalo -5\le e\le+5, do número \,1234,5678, — tanto no esquema de truncamento quanto no de arredondamento.
Dados fornecidos:
  • \beta=10.
  • t=4 (quatro dígitos significativos na mantissa).
  • Expoente permitido: -5\le e\le+5.
  • Número a representar: \,1234,5678.
O objetivo é dar a representação normalizada (mantissa com t dígitos) para truncamento e para arredondamento.

Passo 2

O que é uma representação normalizada neste sistema?
  • Uma representação normalizada tem a forma
\pm d_0.d_1d_2\ldots d_{t-1}\times\beta^{e},
onde d_0 é um dígito não nulo (ou seja, 1 a 9 no caso decimal) e os d_i são dígitos na base \beta. Aqui t é o número total de dígitos significativos (incluindo d_0). Como t=4, a mantissa terá a forma d_0.d_1d_2d_3 (um dígito antes da vírgula e três depois), totalizando 4 dígitos significativos.
  • Truncamento: mantém os primeiros t dígitos da mantissa e descarta o resto (sem arredondar).
  • Arredondamento (modo usual): olha para o primeiro dígito descartado; se esse dígito for \ge 5 faz arredondamento para cima do último dígito mantido; caso contrário deixa o último dígito mantido.

Passo 3

Normalizar o número \,1234,5678.
  • Escreve-se em forma científica com um único dígito antes da vírgula:
1234,5678 = 1,2345678\times10^{3}.
Aqui o expoente é e=3, que está dentro do intervalo permitido -5\le e\le+5.

Passo 4

Aplicar o truncamento à mantissa.
  • A mantissa normalizada é 1,2345678. Os primeiros t=4 dígitos significativos são os dígitos 1,2,3,4, ou seja a mantissa truncada é 1,234.
  • Portanto a representação por truncamento é
1,234\times10^{3}.
  • Valor numérico dessa representação: 1,234\times10^{3}=1234.
  • Erro absoluto do truncamento (para intuição): |1234,5678-1234|=0,5678.

Passo 5

Aplicar o arredondamento à mantissa.
  • A mantissa completa é 1,2345678. Mantemos os primeiros t=4 dígitos 1,2,3,4. O primeiro dígito descartado é o seguinte, que vale 5 (vindo do trecho 1,2345\ldots).
  • Regra de arredondamento usual: como o dígito descartado é \ge 5, arredonda-se o último dígito mantido para cima: o 4 passa a 5.
  • Assim a mantissa arredondada é 1,235, e a representação por arredondamento é
1,235\times10^{3}.
  • Valor numérico dessa representação: 1,235\times10^{3}=1235.
  • Erro absoluto do arredondamento: |1235-1234,5678|=0,4322.

Passo 6

Verificação final do expoente e observações práticas para a prova.
  • O expoente usado é e=3, que está dentro de -5\le e\le+5, logo não houve overflow nem underflow.
  • Como dica prática na prova: primeiro escreva o número em forma normalizada (um dígito não nulo antes da vírgula), identifique os t primeiros dígitos significativos, e aplique a regra de truncamento ou a regra de arredondamento olhando o primeiro dígito descartado.

Resposta

Truncamento: 1,234\times10^{3} (representa 1234)
Arredondamento: 1,235\times10^{3} (representa 1235)

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