Considere que a massa acumulada de um poluente em um sistema ambiental discreto é modelada por:
M=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
onde n representa intervalos discretos de tempo.
(a) Determine se a massa total acumulada M é finita ou infinita.
(b) Interprete matematicamente o resultado obtido.
(c) Explique, com base no resultado, se o sistema tende à saturação ou à estabilização ao longo do tempo.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. O enunciado fornece a série infinita que modela a massa acumulada:
M=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
As perguntas são:
(a) Determinar se a massa total acumulada M é finita ou infinita.
(b) Interpretar matematicamente o resultado obtido.
(c) Explicar, com base no resultado, se o sistema tende à saturação ou à estabilização ao longo do tempo.
Informações relevantes dadas:
  • A soma começa em n=2 e vai até infinito.
  • Cada termo é positivo e igual a \dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
  • n representa intervalos discretos de tempo (portanto n é inteiro e cresce sem limite).

Passo 2

Escolha do método e justificativa: vou usar o Teste da Integral (integral test), pois temos uma série de termos positivos que vêm de uma função contínua f(x) avaliada em inteiros ( f(n)), e esse teste é adequado para séries do tipo \sum f(n) quando f é positiva e decrescente para x grande. Primeiro preciso verificar que a função correspondente é positiva e decrescente para x\ge2.
Defino a função contínua
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\qquad x\ge2.
Vou verificar que f(x)>0 e f'(x)<0 para x\ge2.

Passo 3

Mostrar que f é positiva e decrescente.
Positividade: para x\ge2 tem-se \ln x>0 e x>0, portanto
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}}>0.
Monotonicidade (derivada): calculo a derivada de f. Usando regras de derivação:
f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-2}.
Derivando,
f'(x)=-x^{-2}(\ln x)^{-2}+x^{-1}\left(-2(\ln x)^{-3}\cdot\frac{1}{x}\right).
Agrupando termos em comum x^{-2}(\ln x)^{-3},
f'(x)=-\frac{\ln x + 2}{x^{2}(\ln x)^{3}}.
Para x\ge2 tem-se \ln x>0, logo \ln x+2>0, e portanto f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente e positiva para x\ge2, condição que permite aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Aplicar o Teste da Integral: calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Faço a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx. Quando x=2 temos u=\ln 2. Quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
Calculo essa integral imprópria:
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du=\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u=T} =\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{T}+\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}.
Portanto a integral converge e tem valor finito \dfrac{1}{\ln 2}.

Passo 5

Conclusão sobre a convergência da série: pelo Teste da Integral, como f é positiva, decrescente e a integral \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx converge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge. Logo M é finita.
Além disso, usando as desigualdades padrão para f decrescente (estimativa por integração), vale
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{n=2}^{\infty} f(n) \le f(2)+\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx.
Substituindo os valores que já temos,
\frac{1}{\ln 2} \le M \le \frac{1}{2(\ln 2)^{2}}+\frac{1}{\ln 2}.
Para ter uma noção numérica rápida (útil para interpretação): \ln 2\approx 0,6931, então
\frac{1}{\ln 2}\approx 1,4427, \qquad \frac{1}{2(\ln 2)^{2}}\approx 1,0397,
portanto
1,4427 \lesssim M \lesssim 2,4824.
Isto confirma que M é um número finito (e dá um intervalo onde ele está).

Passo 6

Interpretação matemática do resultado (parte b): a convergência da série significa que a soma dos termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
tem um limite finito quando somam-se todas as contribuições ao longo do tempo. Matematicamente, os termos individuais \dfrac{1}{n(\ln n)^{2}} tendem a zero quando n\to\infty, e o decaimento é suficientemente rápido (mais rápido que \dfrac{1}{n\ln n}) para que a soma total não diverja. Em termos de teoria de séries, trata-se de um exemplo clássico: para séries do tipo \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} com n\ge2, elas convergem se e somente se p>1; aqui p=2, logo converge.

Passo 7

Interpretação física e conclusão sobre saturação/estabilização (parte c): como a soma das contribuições ao longo do tempo é finita, a massa acumulada total M tende a um valor limite finito quando o tempo cresce indefinidamente. Em linguagem física/intuitiva:
  • Cada intervalo de tempo ainda adiciona massa, mas as adições tornam-se cada vez menores de forma que, somadas, não ultrapassam um limite finito.
  • Portanto o sistema não acumula massa indefinidamente: ele se aproxima de um estado em que a massa total está essencialmente estabilizada em um valor máximo (uma “saturação” ou assíntota superior).
Conclui-se que o sistema tende à saturação (ou estabilização) no sentido de que a massa total converge para um valor finito ao longo do tempo; não há crescimento sem limite.

Resposta

(a) M é finita (a série converge).
(b) A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}} converge por meio do Teste da Integral; portanto a soma total é um número finito (por exemplo 1,4427\lesssim M\lesssim2,4824).
(c) O sistema tende à saturação/estabilização: a massa acumulada aproxima-se de um limite finito quando n\to\infty.

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