Considere que a massa acumulada de um poluente em um sistema ambiental discreto é modelada por:
onde
representa intervalos discretos de tempo.
(a) Determine se a massa total acumulada
é finita ou infinita.
(b) Interprete matematicamente o resultado obtido.
(c) Explique, com base no resultado, se o sistema tende à saturação ou à estabilização ao longo do tempo.
(a) Determine se a massa total acumulada
(b) Interprete matematicamente o resultado obtido.
(c) Explique, com base no resultado, se o sistema tende à saturação ou à estabilização ao longo do tempo.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. O enunciado fornece a série infinita que modela a massa acumulada:
As perguntas são:
(a) Determinar se a massa total acumulada é finita ou infinita.
(b) Interpretar matematicamente o resultado obtido.
(c) Explicar, com base no resultado, se o sistema tende à saturação ou à estabilização ao longo do tempo.
(a) Determinar se a massa total acumulada
(b) Interpretar matematicamente o resultado obtido.
(c) Explicar, com base no resultado, se o sistema tende à saturação ou à estabilização ao longo do tempo.
Informações relevantes dadas:
- A soma começa em
e vai até infinito. - Cada termo é positivo e igual a
. -
representa intervalos discretos de tempo (portanto é inteiro e cresce sem limite).
Passo 2
Escolha do método e justificativa: vou usar o Teste da Integral (integral test), pois temos uma série de termos positivos que vêm de uma função contínua
avaliada em inteiros (
), e esse teste é adequado para séries do tipo
quando
é positiva e decrescente para
grande. Primeiro preciso verificar que a função correspondente é positiva e decrescente para
.
Defino a função contínua
Vou verificar que
e
para
.
Passo 3
Mostrar que
é positiva e decrescente.
Positividade: para
tem-se
e
, portanto
Monotonicidade (derivada): calculo a derivada de
. Usando regras de derivação:
Derivando,
Agrupando termos em comum
,
Para
tem-se
, logo
, e portanto
. Conclusão:
é decrescente e positiva para
, condição que permite aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Aplicar o Teste da Integral: calcular a integral imprópria
Faço a substituição
. Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. A integral transforma-se em
Calculo essa integral imprópria:
Portanto a integral converge e tem valor finito
.
Passo 5
Conclusão sobre a convergência da série: pelo Teste da Integral, como
é positiva, decrescente e a integral
converge, a série
converge. Logo
é finita.
Além disso, usando as desigualdades padrão para
decrescente (estimativa por integração), vale
Substituindo os valores que já temos,
Para ter uma noção numérica rápida (útil para interpretação):
, então
portanto
Isto confirma que
é um número finito (e dá um intervalo onde ele está).
Passo 6
Interpretação matemática do resultado (parte b): a convergência da série significa que a soma dos termos positivos
tem um limite finito quando somam-se todas as contribuições ao longo do tempo. Matematicamente, os termos individuais
tendem a zero quando
, e o decaimento é suficientemente rápido (mais rápido que
) para que a soma total não diverja. Em termos de teoria de séries, trata-se de um exemplo clássico: para séries do tipo
com
, elas convergem se e somente se
; aqui
, logo converge.
Passo 7
Interpretação física e conclusão sobre saturação/estabilização (parte c): como a soma das contribuições ao longo do tempo é finita, a massa acumulada total
tende a um valor limite finito quando o tempo cresce indefinidamente. Em linguagem física/intuitiva:
- Cada intervalo de tempo ainda adiciona massa, mas as adições tornam-se cada vez menores de forma que, somadas, não ultrapassam um limite finito.
- Portanto o sistema não acumula massa indefinidamente: ele se aproxima de um estado em que a massa total está essencialmente estabilizada em um valor máximo (uma “saturação” ou assíntota superior).
Conclui-se que o sistema tende à saturação (ou estabilização) no sentido de que a massa total converge para um valor finito ao longo do tempo; não há crescimento sem limite.
Resposta
(a)
é finita (a série converge).
(b) A série converge por meio do Teste da Integral; portanto a soma total é um número finito (por exemplo
).
(c) O sistema tende à saturação/estabilização: a massa acumulada aproxima-se de um limite finito quando .
(b) A série
(c) O sistema tende à saturação/estabilização: a massa acumulada aproxima-se de um limite finito quando