Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
O que se pede: determinar se essa série converge ou diverge e justificar rigorosamente. Informação importante extraída do enunciado: para cada
o termo geral é
Passo 2
Escolherei um teste adequado para séries de termos positivos. Um teste muito útil é o teste da razão (d’Alembert). Vou explicar o que diz esse teste de forma didática.
O teste da razão afirma o seguinte para uma série com termos positivos
:
- Se
existe e , então a série converge (convergência absoluta no caso de termos reais). - Se
, então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
A ideia por trás do teste: se para
grande os termos obedecem aproximadamente
, então os termos decaem geometricamente e a soma se comporta como uma série geométrica convergente. Por isso calcularei
e seu limite.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos passo a passo:
Como
, simplifica-se:
Podemos reescrever isso como
Passo 4
Agora preciso calcular o limite
Para ser rigoroso, faço a troca
. Então
e
Escrevo a potência como uma exponenciação conveniente:
É um fato básico (padrão) que
pois a família de limites
vale para qualquer
, e aqui
. Para uma justificativa rápida e elementar podemos usar logaritmos:
Como
quando
, tem-se
logo o logaritmo tende a
e a expressão tende a
. Voltando à expressão anterior, como
, obtemos
Portanto
Passo 5
Avaliar a consequência do resultado do passo anterior. Sabemos que
, ou seja
. Pelo teste da razão, quando o limite da razão entre termos consecutivos é menor que
, a série de termos positivos converge. Como os termos são não negativos, isso implica convergência absoluta (e portanto convergência simples também).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).