Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}.
O que se pede: determinar se essa série converge ou diverge e justificar rigorosamente. Informação importante extraída do enunciado: para cada n o termo geral é
a_n=\frac{n!}{n^{n}}>0.

Passo 2

Escolherei um teste adequado para séries de termos positivos. Um teste muito útil é o teste da razão (d’Alembert). Vou explicar o que diz esse teste de forma didática.
O teste da razão afirma o seguinte para uma série com termos positivos a_n>0:
  • Se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então a série converge (convergência absoluta no caso de termos reais).
  • Se \displaystyle L>1, então a série diverge.
  • Se \displaystyle L=1, o teste é inconclusivo.
A ideia por trás do teste: se para n grande os termos obedecem aproximadamente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\approx L<1, então os termos decaem geometricamente e a soma se comporta como uma série geométrica convergente. Por isso calcularei \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e seu limite.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)!\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}\,n!}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, simplifica-se:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\,n!\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}\,n!} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Podemos reescrever isso como
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.

Passo 4

Agora preciso calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Para ser rigoroso, faço a troca m=n+1. Então n=m-1 e
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m-1}.
Escrevo a potência como uma exponenciação conveniente:
\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m-1} =\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m\cdot\frac{m-1}{m}} =\left[\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{\frac{m-1}{m}}.
É um fato básico (padrão) que
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}=e^{-1},
pois a família de limites \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}=e^{x} vale para qualquer x, e aqui x=-1. Para uma justificativa rápida e elementar podemos usar logaritmos:
\ln\!\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}=m\ln\!\left(1-\frac{1}{m}\right).
Como \ln(1+u)\sim u quando u\to0, tem-se
m\ln\!\left(1-\frac{1}{m}\right)\sim m\left(-\frac{1}{m}\right)=-1,
logo o logaritmo tende a -1 e a expressão tende a e^{-1}. Voltando à expressão anterior, como \dfrac{m-1}{m}\to1, obtemos
L=\lim_{m\to\infty}\left[\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{\frac{m-1}{m}}=(e^{-1})^{1}=e^{-1}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}.

Passo 5

Avaliar a consequência do resultado do passo anterior. Sabemos que e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx0,3679, ou seja \displaystyle L=e^{-1}<1. Pelo teste da razão, quando o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1, a série de termos positivos converge. Como os termos são não negativos, isso implica convergência absoluta (e portanto convergência simples também).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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