Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n}
converge ou diverge, justificando rigorosamente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n}.
  • Para todo n\ge1 temos a_{n}>0 (numerador e denominador são positivos).
  • A pergunta única é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge ou diverge?

Passo 2

Escolha do método e enunciado do teste que vou usar (explicado didaticamente).
  • Observação heurística: para n grande parece que \sqrt{n^{2}+1} é da ordem de n, e n^{2}+n é da ordem de n^{2}. Logo a_{n} deve comportar-se como 1/n. A série harmônica \sum 1/n diverge, então faz sentido comparar com ela.
  • Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Enunciado do teste: sejam \bigl(a_{n}\bigr) e \bigl(b_{n}\bigr) sequências com a_{n}\ge0, b_{n}\ge0. Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} são simultaneamente convergentes ou divergentes.
  • Vou tomar b_{n}=\dfrac{1}{n} (a série \sum b_{n}=\sum 1/n é a harmônica, conhecida por divergir).

Passo 3

Calcular o limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}} passo a passo.
  • Escrevendo a_{n} e b_{n}:
a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n},\qquad b_{n}=\frac{1}{n}.
  • Então
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n}\cdot n=\frac{n\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n}.
  • Agora simplifico dividindo numerador e denominador por n^{2}. Note que n\sqrt{n^{2}+1}=n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}. Assim
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)} =\frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}{1+\dfrac{1}{n}}.
  • Tomando limite quando n\to\infty, temos \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0, logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}{1+\dfrac{1}{n}} =\frac{\sqrt{1+0}}{1+0}=1.

Passo 4

Aplicação do teste e conclusão final (com justificativa de por que a harmônica diverge).
  • Encontramos L=1, que satisfaz 0<L<\infty. Pelo Teste da Comparação por Limite, as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} são simultaneamente convergentes ou divergentes.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, a qual é conhecida por divergir. (Justificação curta: pelo teste da integral, \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\infty, então \sum 1/n diverge; ou pelo teste de condensação de Cauchy.)
  • Portanto, como \sum b_{n} diverge e L=1>0, a série \sum a_{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}+n} também diverge.
  • Observação intuitiva final: a razão tending to 1 significa que, para n grande, a_{n} é equivalente a 1/n, isto é a_{n}\sim 1/n. Séries cujos termos são assimptoticamente iguais à harmônica herdaram seu comportamento de divergência.

Resposta

A série diverge.

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