Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, justificando rigorosamente. Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - Para todo
temos (numerador e denominador são positivos). - A pergunta única é: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Escolha do método e enunciado do teste que vou usar (explicado didaticamente).
- Observação heurística: para
grande parece que é da ordem de , e é da ordem de . Logo deve comportar-se como . A série harmônica diverge, então faz sentido comparar com ela. - Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Enunciado do teste: sejam
e sequências com , . Se existir
com
, então as séries
e
são simultaneamente convergentes ou divergentes.
- Vou tomar
(a série é a harmônica, conhecida por divergir).
Passo 3
Calcular o limite
passo a passo.
- Escrevendo
e :
- Então
- Agora simplifico dividindo numerador e denominador por
. Note que . Assim
- Tomando limite quando
, temos e , logo
Passo 4
Aplicação do teste e conclusão final (com justificativa de por que a harmônica diverge).
- Encontramos
, que satisfaz . Pelo Teste da Comparação por Limite, as séries e são simultaneamente convergentes ou divergentes. - A série
é a série harmônica, a qual é conhecida por divergir. (Justificação curta: pelo teste da integral, , então diverge; ou pelo teste de condensação de Cauchy.) - Portanto, como
diverge e , a série também diverge. - Observação intuitiva final: a razão tending to
significa que, para grande, é equivalente a , isto é . Séries cujos termos são assimptoticamente iguais à harmônica herdaram seu comportamento de divergência.
Resposta
A série diverge.