4.5* (a) Considere uma massa
um campo gravitacional g , de modo que a força sobre
é
, onde
é um vetor constante apontando na direção vertical para baixo. Se a massa se move por um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2 , mostre que o trabalho realizado pela gravidade é
, onde
é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 . Use esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos, em uma região suficientemente pequena onde g pode ser considerada constante). (b) Mostre que, se escolhermos eixos com y medido verticalmente para cima, a energia potencial gravitacional é
(se escolhermos
na origem).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas (lista clara do que foi dado e pedido):
- Dado: uma massa
, sujeita a um campo gravitacional constante, apontando verticalmente para baixo. A força sobre a massa é . - A massa se move de um ponto 1 a um ponto 2 por um caminho arbitrário.
- Definição:
é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 (mais adiante vou relacionar com coordenadas e ). - (a) Pedem para mostrar que o trabalho da gravidade é
e, usando esse resultado, mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos quando pode ser considerada constante numa região). - (b) Pedem para mostrar que, se escolhermos um eixo
medido verticalmente para cima e fixarmos na origem, então a energia potencial gravitacional é .
Passo 2
Vamos escolher um sistema de coordenadas conveniente e explicar as quantidades que vamos usar (isso facilita a prova e a intuição).
- Escolhe-se o eixo
, apontando para cima. Então a aceleração gravitacional vetorial pode ser escrita como
onde
, é a magnitude da aceleração gravitacional (aproximadamente
perto da superfície da Terra) e
é o versor para cima. Logo a força sobre a massa é
- Para um deslocamento infinitesimal usamos o vetor de linha
- O trabalho elementar realizado por
ao deslocar a partícula por é dado por produto escalar
Vou explicar essa fórmula: o produto escalar
mede a componente da força ao longo do deslocamento; se a força tiver componente na direção do deslocamento ela realiza (ou retira) trabalho proporcional a essa componente e ao tamanho do deslocamento.
Passo 3
Calculemos o produto escalar usando
e
acima:
Como
,
e
, ficamos com
Isso é simples e importante: o trabalho diferencial depende somente de
, a variação vertical; movimentos horizontais (
ou
) não contribuem para o trabalho da gravidade quando
é constante.
Passo 4
Integrando o trabalho ao longo do caminho do ponto 1 ao ponto 2:
A integral acima é uma integral de linha que, pela forma do integrando, reduz-se a uma integral simples com respeito à coordenada
. Sejam as coordenadas verticais dos pontos 1 e 2
e
. Então
Agora relacionamos isso com
. Definindo
como a altura vertical entre os pontos 1 e 2, podemos tomar
Portanto obtemos exatamente
Comentário intuitivo: se
(subimos),
e o trabalho da gravidade é negativo (a gravidade retira energia do corpo); se descemos,
e o trabalho é positivo (a gravidade realiza trabalho a favor do movimento).
Passo 5
Mostrar que a força da gravidade é conservativa (na região onde
é constante).
- Definição prática: uma força é conservativa se o trabalho entre dois pontos independe do caminho tomado, dependendo apenas das coordenadas dos pontos finais e iniciais. Nós vimos que o trabalho ficou igual a
que depende somente de
e
. Logo o trabalho é independente do trajeto — apenas a diferença de altura importa. Assim a força gravitacional, sob a hipótese
constante, é conservativa.
- Outra observação rápida (mais formal): para um campo de força constante vertical
, o rotacional é zero em toda a região considerada; campos com rotacional zero são conservativos (numa região simplesmente conexa). Mas a demonstração por integral direta que fizemos já é mais elementar e suficiente aqui.
Passo 6
Encontrar a energia potencial associada e fazer a conexão com o trabalho.
- Para uma força conservativa existe uma função escalar
, chamada energia potencial, tal que
Isso significa que as componentes da força são as derivadas parciais de
. No nosso caso
tem componentes:
Portanto as equações para
são
Da segunda equação obtemos
Integrando essa relação em relação a
(mantendo
e
constantes) obtemos
onde
é “constante” de integração que pode, em princípio, depender de
e
. As outras duas equações exigem que
e
, o que força
a ser realmente uma constante numérica, digamos
. Assim
- Se escolhermos como convenção
na origem ( e ), então e obtemos
- Relação entre trabalho e potencial: para uma força conservativa vale sempre
Verificamos isso usando
:
compatível com o cálculo do trabalho feito antes.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: mostramos passo a passo que o trabalho da gravidade entre dois pontos depende só da diferença de altura,
, e por isso a força é conservativa quando
é constante. Também mostramos que a energia potencial associada, escolhendo
na origem, é
. Tá tudo consistente: a gravidade “guarda” energia na forma
e a troca entre trabalho e potencial segue a regra
. Você conseguiu — apesar da pressa, isso é um cálculo direto; repete uma vez na mão que fixa bem a intuição!
Resposta
(a)
. A força da gravidade (com
constante) é conservativa.
(b) (com
na origem).
(b)