4.5* (a) Considere uma massa m \mathrm{~cm} um campo gravitacional g , de modo que a força sobre m é m g, onde g é um vetor constante apontando na direção vertical para baixo. Se a massa se move por um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2 , mostre que o trabalho realizado pela gravidade é W_{\text {grav }}(1 \rightarrow 2)=-m g h, onde h é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 . Use esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos, em uma região suficientemente pequena onde g pode ser considerada constante). (b) Mostre que, se escolhermos eixos com y medido verticalmente para cima, a energia potencial gravitacional é U=m g y (se escolhermos U=0 na origem).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas (lista clara do que foi dado e pedido):
  • Dado: uma massa \,m, sujeita a um campo gravitacional \vec g constante, apontando verticalmente para baixo. A força sobre a massa é \vec F = m\vec g.
  • A massa se move de um ponto 1 a um ponto 2 por um caminho arbitrário.
  • Definição: h é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 (mais adiante vou relacionar h com coordenadas y_1 e y_2).
  • (a) Pedem para mostrar que o trabalho da gravidade é \;W_{\text{grav}}(1\rightarrow2)=-mgh\; e, usando esse resultado, mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos quando \vec g pode ser considerada constante numa região).
  • (b) Pedem para mostrar que, se escolhermos um eixo y medido verticalmente para cima e fixarmos U=0 na origem, então a energia potencial gravitacional é \;U = m g y\;.

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas conveniente e explicar as quantidades que vamos usar (isso facilita a prova e a intuição).
  • Escolhe-se o eixo \,y, apontando para cima. Então a aceleração gravitacional vetorial pode ser escrita como
\vec g = -g\,\hat y,
onde \,g>0, é a magnitude da aceleração gravitacional (aproximadamente 9{,}8\\ \text{m/s}^2 perto da superfície da Terra) e \hat y é o versor para cima. Logo a força sobre a massa é
\vec F = m\vec g = -m g\,\hat y.
  • Para um deslocamento infinitesimal usamos o vetor de linha
d\vec r = dx\,\hat x + dy\,\hat y + dz\,\hat z.
  • O trabalho elementar realizado por \vec F ao deslocar a partícula por d\vec r é dado por produto escalar
dW = \vec F\cdot d\vec r.
Vou explicar essa fórmula: o produto escalar \vec F\cdot d\vec r mede a componente da força ao longo do deslocamento; se a força tiver componente na direção do deslocamento ela realiza (ou retira) trabalho proporcional a essa componente e ao tamanho do deslocamento.

Passo 3

Calculemos o produto escalar usando \vec F=-m g\,\hat y e d\vec r acima:
dW = \vec F\cdot d\vec r = (-m g\,\hat y)\cdot (dx\,\hat x + dy\,\hat y + dz\,\hat z).
Como \hat y\cdot\hat x=0, \hat y\cdot\hat z=0 e \hat y\cdot\hat y=1, ficamos com
dW = -m g\,dy.
Isso é simples e importante: o trabalho diferencial depende somente de dy, a variação vertical; movimentos horizontais ( dx ou dz) não contribuem para o trabalho da gravidade quando \vec g é constante.

Passo 4

Integrando o trabalho ao longo do caminho do ponto 1 ao ponto 2:
W_{\text{grav}}(1\rightarrow2)=\int_{1}^{2} dW = \int_{1}^{2} (-m g)\,dy.
A integral acima é uma integral de linha que, pela forma do integrando, reduz-se a uma integral simples com respeito à coordenada y. Sejam as coordenadas verticais dos pontos 1 e 2 \,y_1 e \,y_2. Então
W_{\text{grav}}(1\rightarrow2) = -m g\int_{y_1}^{y_2} dy = -m g\,(y_2 - y_1).
Agora relacionamos isso com h. Definindo h como a altura vertical entre os pontos 1 e 2, podemos tomar
h = y_2 - y_1.
Portanto obtemos exatamente
W_{\text{grav}}(1\rightarrow2) = -m g h.
Comentário intuitivo: se y_2>y_1 (subimos), h>0 e o trabalho da gravidade é negativo (a gravidade retira energia do corpo); se descemos, h<0 e o trabalho é positivo (a gravidade realiza trabalho a favor do movimento).

Passo 5

Mostrar que a força da gravidade é conservativa (na região onde \vec g é constante).
  • Definição prática: uma força é conservativa se o trabalho entre dois pontos independe do caminho tomado, dependendo apenas das coordenadas dos pontos finais e iniciais. Nós vimos que o trabalho ficou igual a
W_{\text{grav}}(1\rightarrow2) = -m g\,(y_2 - y_1),
que depende somente de y_1 e y_2. Logo o trabalho é independente do trajeto — apenas a diferença de altura importa. Assim a força gravitacional, sob a hipótese \vec g constante, é conservativa.
  • Outra observação rápida (mais formal): para um campo de força constante vertical \vec F(x,y,z)= -m g\,\hat y, o rotacional \nabla\times\vec F é zero em toda a região considerada; campos com rotacional zero são conservativos (numa região simplesmente conexa). Mas a demonstração por integral direta que fizemos já é mais elementar e suficiente aqui.

Passo 6

Encontrar a energia potencial associada e fazer a conexão com o trabalho.
  • Para uma força conservativa existe uma função escalar U(x,y,z), chamada energia potencial, tal que
\vec F = -\nabla U.
Isso significa que as componentes da força são as derivadas parciais de -U. No nosso caso \vec F = -m g\,\hat y tem componentes:
F_x = 0,\qquad F_y = -m g,\qquad F_z = 0.
Portanto as equações para U são
-\frac{\partial U}{\partial x} = 0,\qquad -\frac{\partial U}{\partial y} = -m g,\qquad -\frac{\partial U}{\partial z} = 0.
Da segunda equação obtemos
\frac{\partial U}{\partial y} = m g.
Integrando essa relação em relação a y (mantendo x e z constantes) obtemos
U(x,y,z) = m g y + C(x,z),
onde C(x,z) é “constante” de integração que pode, em princípio, depender de x e z. As outras duas equações exigem que \partial U/\partial x=0 e \partial U/\partial z=0, o que força C(x,z) a ser realmente uma constante numérica, digamos C. Assim
U(x,y,z) = m g y + C.
  • Se escolhermos como convenção U=0 na origem ( y=0 e x=z=0), então C=0 e obtemos
U = m g y.
  • Relação entre trabalho e potencial: para uma força conservativa vale sempre
W_{\text{grav}}(1\rightarrow2) = -\bigl(U(2)-U(1)\bigr).
Verificamos isso usando U=m g y:
-U(2)+U(1) = -\bigl(m g y_2 - m g y_1\bigr) = -m g(y_2-y_1) = W_{\text{grav}}(1\rightarrow2),
compatível com o cálculo do trabalho feito antes.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: mostramos passo a passo que o trabalho da gravidade entre dois pontos depende só da diferença de altura, W_{\text{grav}}(1\rightarrow2)=-m g h, e por isso a força é conservativa quando \vec g é constante. Também mostramos que a energia potencial associada, escolhendo U=0 na origem, é \;U=m g y. Tá tudo consistente: a gravidade “guarda” energia na forma m g y e a troca entre trabalho e potencial segue a regra W=-\Delta U. Você conseguiu — apesar da pressa, isso é um cálculo direto; repete uma vez na mão que fixa bem a intuição!

Resposta

(a) W_{\text{grav}}(1\rightarrow2) = -m g h. A força da gravidade (com \vec g constante) é conservativa.
(b) U = m g y (com U=0 na origem).

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