4.4** Uma partícula de massa m está se movendo sobre uma mesa horizontal sem atrito e está ligada a um fio de massa desprezível, cujo lado oposto passa através de um orifício na mesa, por onde a estou segurando. Inicialmente, a partícula está se movendo em um círculo de raio r_{0} com velocidade angular \omega_{0}, mas agora puxo o fio para baixo através do orifício até que um comprimento r permaneça entre o orifício e a partícula. (a) Qual é a velocidade angular da partícula nesse instante? (b) Assumindo que eu puxo o fio tīo vagarosamente que podemos aproximar o caminho da partícula por um círculo com um raio diminuindo lentamente, calcule o trabalho que eu realizei ao puxar o fio. (c) Compare sua resposta com o item (b) com o ganho de energia cinética da partícula.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras.
Informações fornecidas:
  • Uma partícula de massa m move-se sem atrito sobre uma mesa horizontal.
  • A partícula está presa a um fio de massa desprezível que passa por um orifício no centro da mesa.
  • Inicialmente o raio do movimento é r_{0} e a velocidade angular inicial é \omega_{0}.
  • Eu puxo o fio pelo orifício até que o novo raio seja r (com r<r_{0}), fazendo o raio diminuir lentamente.
O que é pedido:
(a) Qual é a velocidade angular \omega da partícula quando o raio vale r?
(b) Assumindo que o puxar é tão vagaroso que o movimento pode ser aproximado por círculos de raio lentamente decrescente, calcule o trabalho W realizado por quem puxa o fio, ao levar o raio de r_{0} para r.
(c) Compare o trabalho calculado em (b) com o ganho de energia cinética da partícula ao passar de r_{0} para r.

Passo 2

Entendendo a conservação importante que nos permite começar: enquanto o fio passar pelo orifício e não haja torque externo em relação ao ponto do orifício, o momento angular da partícula em relação ao orifício é conservado. Vou explicar isso devagarinho.
O momento angular (ou momento de quantidade de movimento angular) de uma partícula de massa m que se move em torno de um ponto com velocidade angular \omega e raio r é dado por
L = m r^{2}\omega.
Aqui L é o momento angular, m a massa, r a distância ao ponto (o orifício) e \omega a velocidade angular. Se não há torque externo (o fio exerce apenas força radial), L é constante no tempo.

Passo 3

Aplicando conservação do momento angular entre o estado inicial (r_{0},\omega_{0}) e o estado atual (r,\omega):
Conservação:
m r_{0}^{2}\omega_{0} = m r^{2}\omega.
Podemos cancelar m e resolver para \omega. Isso nos dá a resposta solicitada em (a).

Passo 4

Resolver a expressão de conservação para \omega:
\omega = \omega_{0}\,\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}.
Explicando em palavras: quando o raio diminui, para manter L constante a velocidade angular aumenta na razão inversa do quadrado do raio.

Passo 5

Agora vamos calcular o trabalho feito por quem puxa o fio de r_{0} até r, assumindo o processo quasi-estático (muito lento). Primeiro eu explico como a força e o deslocamento são orientados e como montar a integral do trabalho.
A força que age radialmente sobre a massa por meio do fio é a tensão T, dirigida para o centro (inward). Quando o raio diminui, o deslocamento radial também é para dentro. O trabalho elementar realizado pela força de tensão sobre a partícula, no sentido físico (força · deslocamento), é
dW_{\text{tensão}} = \mathbf{T}\cdot d\mathbf{r} = -T\,dr,ã
onde escolhemos dr positivo para aumento de r (outward). Como o deslocamento é inward (redução de r), dr<0 e -T\,dr>0. Para achar o trabalho total feito pela força de tensão ao reduzir o raio de r_{0} para r calculamos
W = \int_{r_{0}}^{r} -T(r)\,dr = \int_{r}^{r_{0}} T(r)\,dr.
Observação importante: esse W é o trabalho efetuado sobre a partícula pela tensão (ou, equivalentemente, o trabalho que a pessoa que puxa realiza sobre o sistema, mudando apenas o sinal dependendo da convenção). Vou calcular T(r) usando a aproximação quasi-estática.

Passo 6

Determinar T(r) na aproximação lenta: para movimento quase estacionário do raio (isto é, r'' muito pequeno), a equação radial do movimento (segunda lei de Newton em coordenadas polares) reduz-se aproximadamente à igualdade entre tensão e força centrífuga necessária:
T \approx m r \omega^{2}.
Explicando a fórmula: a partícula precisa de uma força centrípeta (para manter movimento circular instantâneo) cuja magnitude é m r \omega^{2}; essa força centrípeta é fornecida pela componente radial da tensão no fio. Em regime quasi-estacionário, a aceleração radial efetiva é desprezível em comparação com a necessidade centrípeta, portanto T \approx m r \omega^{2}.

Passo 7

Agora substituímos \omega usando a conservação do momento angular: já sabemos que
\omega = \omega_{0}\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}.
Logo
\omega^{2} = \omega_{0}^{2}\frac{r_{0}^{4}}{r^{4}}.
Substituindo em T:
T(r) \approx m r \omega^{2} = m r\left(\omega_{0}^{2}\frac{r_{0}^{4}}{r^{4}}\right) = m\omega_{0}^{2}\frac{r_{0}^{4}}{r^{3}}.

Passo 8

Calcular o trabalho W integrando T(r) de r até r_{0} (ver explicação do sinal no Passo 5):
W = \int_{r}^{r_{0}} T(r)\,dr = \int_{r}^{r_{0}} m\omega_{0}^{2}\frac{r_{0}^{4}}{r^{3}}\,dr.
Fatorando constantes:
W = m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\int_{r}^{r_{0}} r^{-3}\,dr.
A integral é direta:
\int r^{-3}\,dr = -\frac{1}{2}r^{-2}.
Avaliar entre r e r_{0}:
W = m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\left[-\frac{1}{2r^{2}}\right]_{r}^{r_{0}} = m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\left(-\frac{1}{2r_{0}^{2}} + \frac{1}{2r^{2}}\right).
Simplificando:
W = \frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\left(\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{r_{0}^{2}}\right).
Podemos reescrever de forma mais compacta:
W = \frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}r_{0}^{2}\left(\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}} - 1\right).
Observação: para r<r_{0} a quantidade entre parênteses é positiva, então W>0: quem puxa realiza trabalho positivo e aumenta a energia cinética.

Passo 9

Agora calculo explicitamente o ganho de energia cinética da partícula e comparo com W. A energia cinética de uma partícula em movimento circular é
K = \tfrac{1}{2}m v^{2} = \tfrac{1}{2}m (r\omega)^{2} = \tfrac{1}{2}m r^{2}\omega^{2}.
Usando \omega = \omega_{0}r_{0}^{2}/r^{2}, obtemos a energia cinética quando o raio vale r:
K(r) = \tfrac{1}{2}m r^{2}\left(\omega_{0}^{2}\frac{r_{0}^{4}}{r^{4}}\right) = \tfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\frac{r_{0}^{4}}{r^{2}}.
A energia cinética inicial era
K(r_{0}) = \tfrac{1}{2}m r_{0}^{2}\omega_{0}^{2}.
O ganho de energia cinética é
\Delta K = K(r)-K(r_{0}) = \tfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\left(\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{r_{0}^{2}}\right).
Comparando com o W do Passo 8 vemos que as expressões coincidem exatamente.

Passo 10

Interpretação final e insight físico: ao puxar o fio lentamente, não há perda por atrito e não há outros fluxos de energia; todo trabalho realizado pela pessoa que puxa vai para a energia cinética da partícula. A conservação do momento angular força o aumento da velocidade angular, e a tensão radial realiza trabalho positivo durante o encurtamento do raio. Portanto, W=\Delta K.

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\omega_{0}\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}
(b) \displaystyle W=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\!\left(\frac{1}{r^{2}}-\frac{1}{r_{0}^{2}}\right)=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}r_{0}^{2}\!\left(\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}-1\right)
(c) \displaystyle W=\Delta K=\tfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}r_{0}^{4}\!\left(\frac{1}{r^{2}}-\frac{1}{r_{0}^{2}}\right)

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