4.4** Uma partícula de massa
está se movendo sobre uma mesa horizontal sem atrito e está ligada a um fio de massa desprezível, cujo lado oposto passa através de um orifício na mesa, por onde a estou segurando. Inicialmente, a partícula está se movendo em um círculo de raio
com velocidade angular
, mas agora puxo o fio para baixo através do orifício até que um comprimento
permaneça entre o orifício e a partícula. (a) Qual é a velocidade angular da partícula nesse instante? (b) Assumindo que eu puxo o fio tīo vagarosamente que podemos aproximar o caminho da partícula por um círculo com um raio diminuindo lentamente, calcule o trabalho que eu realizei ao puxar o fio. (c) Compare sua resposta com o item (b) com o ganho de energia cinética da partícula.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras.
Informações fornecidas:
- Uma partícula de massa
move-se sem atrito sobre uma mesa horizontal. - A partícula está presa a um fio de massa desprezível que passa por um orifício no centro da mesa.
- Inicialmente o raio do movimento é
e a velocidade angular inicial é . - Eu puxo o fio pelo orifício até que o novo raio seja
(com ), fazendo o raio diminuir lentamente.
O que é pedido:
(a) Qual é a velocidade angular da partícula quando o raio vale
?
(b) Assumindo que o puxar é tão vagaroso que o movimento pode ser aproximado por círculos de raio lentamente decrescente, calcule o trabalho realizado por quem puxa o fio, ao levar o raio de
para
.
(c) Compare o trabalho calculado em (b) com o ganho de energia cinética da partícula ao passar de para
.
(a) Qual é a velocidade angular
(b) Assumindo que o puxar é tão vagaroso que o movimento pode ser aproximado por círculos de raio lentamente decrescente, calcule o trabalho
(c) Compare o trabalho calculado em (b) com o ganho de energia cinética da partícula ao passar de
Passo 2
Entendendo a conservação importante que nos permite começar: enquanto o fio passar pelo orifício e não haja torque externo em relação ao ponto do orifício, o momento angular da partícula em relação ao orifício é conservado. Vou explicar isso devagarinho.
O momento angular (ou momento de quantidade de movimento angular) de uma partícula de massa
que se move em torno de um ponto com velocidade angular
e raio
é dado por
Aqui
é o momento angular,
a massa,
a distância ao ponto (o orifício) e
a velocidade angular. Se não há torque externo (o fio exerce apenas força radial),
é constante no tempo.
Passo 3
Aplicando conservação do momento angular entre o estado inicial
e o estado atual
:
Conservação:
Podemos cancelar
e resolver para
. Isso nos dá a resposta solicitada em (a).
Passo 4
Resolver a expressão de conservação para
:
Explicando em palavras: quando o raio diminui, para manter
constante a velocidade angular aumenta na razão inversa do quadrado do raio.
Passo 5
Agora vamos calcular o trabalho feito por quem puxa o fio de
até
, assumindo o processo quasi-estático (muito lento). Primeiro eu explico como a força e o deslocamento são orientados e como montar a integral do trabalho.
A força que age radialmente sobre a massa por meio do fio é a tensão
, dirigida para o centro (inward). Quando o raio diminui, o deslocamento radial também é para dentro. O trabalho elementar realizado pela força de tensão sobre a partícula, no sentido físico (força · deslocamento), é
onde escolhemos
positivo para aumento de
(outward). Como o deslocamento é inward (redução de
),
e
. Para achar o trabalho total feito pela força de tensão ao reduzir o raio de
para
calculamos
Observação importante: esse
é o trabalho efetuado sobre a partícula pela tensão (ou, equivalentemente, o trabalho que a pessoa que puxa realiza sobre o sistema, mudando apenas o sinal dependendo da convenção). Vou calcular
usando a aproximação quasi-estática.
Passo 6
Determinar
na aproximação lenta: para movimento quase estacionário do raio (isto é,
muito pequeno), a equação radial do movimento (segunda lei de Newton em coordenadas polares) reduz-se aproximadamente à igualdade entre tensão e força centrífuga necessária:
Explicando a fórmula: a partícula precisa de uma força centrípeta (para manter movimento circular instantâneo) cuja magnitude é
; essa força centrípeta é fornecida pela componente radial da tensão no fio. Em regime quasi-estacionário, a aceleração radial efetiva é desprezível em comparação com a necessidade centrípeta, portanto
.
Passo 7
Agora substituímos
usando a conservação do momento angular: já sabemos que
Logo
Substituindo em
:
Passo 8
Calcular o trabalho
integrando
de
até
(ver explicação do sinal no Passo 5):
Fatorando constantes:
A integral é direta:
Avaliar entre
e
:
Simplificando:
Podemos reescrever de forma mais compacta:
Observação: para
a quantidade entre parênteses é positiva, então
: quem puxa realiza trabalho positivo e aumenta a energia cinética.
Passo 9
Agora calculo explicitamente o ganho de energia cinética da partícula e comparo com
. A energia cinética de uma partícula em movimento circular é
Usando
, obtemos a energia cinética quando o raio vale
:
A energia cinética inicial era
O ganho de energia cinética é
Comparando com o
do Passo 8 vemos que as expressões coincidem exatamente.
Passo 10
Interpretação final e insight físico: ao puxar o fio lentamente, não há perda por atrito e não há outros fluxos de energia; todo trabalho realizado pela pessoa que puxa vai para a energia cinética da partícula. A conservação do momento angular força o aumento da velocidade angular, e a tensão radial realiza trabalho positivo durante o encurtamento do raio. Portanto,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)