Considere que uma massa M está presa a uma corrente cuja densidade linear de massa \lambda é constante. A massa M é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}.
e mostre que, quando assumimos que em y=0 a velocidade é v=v_{0}, obtemos
v^{2}=\frac{M^{2} v_{0}^{2}+\frac{2 g M^{3}}{3 \lambda}}{(m+\lambda y)^{2}}-\frac{2 g(M+\lambda y)}{3 \lambda} .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a relação entre velocidade e posição:
  • Uma massa puntual de massa M está presa à extremidade de uma corrente (ou corda) com densidade linear de massa constante \lambda.
  • A massa é lançada verticalmente para cima; usaremos a coordenada y para medir o deslocamento vertical para cima a partir de y=0.
  • A condição inicial é: em y=0 a velocidade vale v=v_{0}.
  • Queremos obter uma expressão para v em função de y, isto é, achar v^{2}(y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Massa pontual: M.
  • Densidade linear da corrente: \lambda.
  • Velocidade inicial em y=0: v(0)=v_{0}.

Passo 2

Entendimento físico e escolha do sistema de referência (sem resolver ainda):
  • À medida que a massa sobe uma distância y, uma porção da corrente de massa \lambda y passa a mover-se junto com a massa com velocidade v. Assim, a massa total que se move é M+\lambda y.
  • A corrente que vai entrando no movimento estava inicialmente em repouso; ao ser arrancada e colocada em movimento, ela recebe momento e energia. Por isso, a descrição dinâmica é do tipo “massa variável” — é preciso ter cuidado ao aplicar a segunda lei de Newton.
  • Vamos escrever a equação do movimento para o sistema “parte em movimento” (massa M mais a porção da corrente de comprimento y) usando a conservação do momento linear considerando o fluxo de massa que entra no sistema e as forças externas (a gravidade). Depois transformaremos a equação em uma equação para v em função de y.

Passo 3

Montando a equação de movimento (elevação positiva):
  • Denotemos por v(t) a velocidade instantânea da massa e por y(t) a sua posição, com v=\dfrac{dy}{dt}.
  • O momento linear do conjunto em movimento é p=(M+\lambda y)\,v.
  • A taxa de variação do momento é
\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl((M+\lambda y)v\bigr)=(M+\lambda y)\frac{dv}{dt}+\lambda v\frac{dy}{dt}.
  • Como \dfrac{dy}{dt}=v, obtemos
\frac{dp}{dt}=(M+\lambda y)\frac{dv}{dt}+\lambda v^{2}.
  • As forças externas sobre o conjunto em movimento (tomando para cima sinal positivo) são apenas o peso resultante para a porção móvel: - (M+\lambda y)g. Além disso, quando elementos da corrente entram no sistema, eles entram com velocidade inicial zero (fora do sistema) e saem para velocidade v, o que está já aparecendo no termo \lambda v^{2} da variação do momento (fluxo de momento).
  • Assim, aplicando a 2ª lei (variação de momento = força externa):
(M+\lambda y)\frac{dv}{dt}+\lambda v^{2}=-(M+\lambda y)g.

Passo 4

Passagem para equação em função de y e simplificação:
  • Usamos a relação \dfrac{dv}{dt} = v\,\dfrac{dv}{dy} (pois v=\dfrac{dy}{dt}). Substituindo na equação do passo anterior:
(M+\lambda y)\,v\frac{dv}{dy}+\lambda v^{2}=-(M+\lambda y)g.
  • Para facilitar, introduzimos a nova função w(y)=v^{2}. Então \dfrac{dw}{dy}=2v\dfrac{dv}{dy}, ou seja v\dfrac{dv}{dy}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dw}{dy}.
  • Substituindo isso na equação obtemos:
(M+\lambda y)\cdot\frac{1}{2}\frac{dw}{dy}+\lambda w=-(M+\lambda y)g.
  • Multiplicando tudo por 2:
(M+\lambda y)\frac{dw}{dy}+2\lambda w=-2(M+\lambda y)g.

Passo 5

Resolver a equação diferencial linear para w(y):
  • A equação está na forma linear de 1ª ordem:
\frac{dw}{dy}+\frac{2\lambda}{M+\lambda y}w=-2g.
  • O fator integrante \mu(y) é
\mu(y)=\exp\!\left(\int \frac{2\lambda}{M+\lambda y}\,dy\right)=\exp\!\bigl(2\ln(M+\lambda y)\bigr)=(M+\lambda y)^{2}.
  • Multiplicando a equação por \mu(y) torna o lado esquerdo a derivada total:
\frac{d}{dy}\bigl((M+\lambda y)^{2}w\bigr) = -2g (M+\lambda y)^{2}.

Passo 6

Integração e aplicação da condição inicial:
  • Integramos ambos os membros de y=0 até y:
(M+\lambda y)^{2} w(y) - M^{2} w(0) = -2g\int_{0}^{y} (M+\lambda s)^{2}\,ds.
  • A condição inicial é w(0)=v_{0}^{2}.
  • Calculamos a integral:
\int_{0}^{y} (M+\lambda s)^{2}\,ds = \int_{0}^{y} \bigl(M^{2}+2\lambda M s+\lambda^{2}s^{2}\bigr)\,ds = M^{2}y+\lambda M y^{2}+\frac{\lambda^{2}y^{3}}{3}.
  • Substituindo tudo:
(M+\lambda y)^{2}v^{2} - M^{2}v_{0}^{2} = -2g\Bigl(M^{2}y+\lambda M y^{2}+\frac{\lambda^{2}y^{3}}{3}\Bigr).

Passo 7

Isolando v^{2} e arrumando a expressão para a forma pedida:
  • Reescrevendo:
(M+\lambda y)^{2}v^{2} = M^{2}v_{0}^{2} -2g\Bigl(M^{2}y+\lambda M y^{2}+\frac{\lambda^{2}y^{3}}{3}\Bigr).
  • Observe que podemos escrever os termos com potências cúbicas como parte de (M+\lambda y)^{3}. Em particular,
\frac{2g}{3\lambda}(M+\lambda y)^{3}=\frac{2g}{3\lambda}\Bigl(M^{3}+3M^{2}\lambda y+3M\lambda^{2}y^{2}+\lambda^{3}y^{3}\Bigr).
  • Subtraindo os termos apropriados e reorganizando (fatorizando convenientemente) chegamos a:
(M+\lambda y)^{2}v^{2} = M^{2}v_{0}^{2}+\frac{2gM^{3}}{3\lambda}-\frac{2g}{3\lambda}(M+\lambda y)^{3}.
  • Dividindo por (M+\lambda y)^{2} obtém-se
v^{2}=\frac{M^{2}v_{0}^{2}+\dfrac{2gM^{3}}{3\lambda}}{(M+\lambda y)^{2}}-\frac{2g(M+\lambda y)}{3\lambda}.

Resposta

v^{2}=\frac{M^{2} v_{0}^{2}+\dfrac{2 g M^{3}}{3 \lambda}}{(M+\lambda y)^{2}}-\frac{2 g(M+\lambda y)}{3 \lambda}.

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