Considere que uma massa
está presa a uma corrente cuja densidade linear de massa
é constante. A massa
é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial
.
e mostre que, quando assumimos que em
a velocidade é
, obtemos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a relação entre velocidade e posição:
- Uma massa puntual de massa
está presa à extremidade de uma corrente (ou corda) com densidade linear de massa constante . - A massa é lançada verticalmente para cima; usaremos a coordenada
para medir o deslocamento vertical para cima a partir de . - A condição inicial é: em
a velocidade vale . - Queremos obter uma expressão para
em função de , isto é, achar .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Massa pontual:
. - Densidade linear da corrente:
. - Velocidade inicial em
: .
Passo 2
Entendimento físico e escolha do sistema de referência (sem resolver ainda):
- À medida que a massa sobe uma distância
, uma porção da corrente de massa passa a mover-se junto com a massa com velocidade . Assim, a massa total que se move é . - A corrente que vai entrando no movimento estava inicialmente em repouso; ao ser arrancada e colocada em movimento, ela recebe momento e energia. Por isso, a descrição dinâmica é do tipo “massa variável” — é preciso ter cuidado ao aplicar a segunda lei de Newton.
- Vamos escrever a equação do movimento para o sistema “parte em movimento” (massa
mais a porção da corrente de comprimento ) usando a conservação do momento linear considerando o fluxo de massa que entra no sistema e as forças externas (a gravidade). Depois transformaremos a equação em uma equação para em função de .
Passo 3
Montando a equação de movimento (elevação positiva):
- Denotemos por
a velocidade instantânea da massa e por a sua posição, com . - O momento linear do conjunto em movimento é
. - A taxa de variação do momento é
- Como
, obtemos
- As forças externas sobre o conjunto em movimento (tomando para cima sinal positivo) são apenas o peso resultante para a porção móvel:
. Além disso, quando elementos da corrente entram no sistema, eles entram com velocidade inicial zero (fora do sistema) e saem para velocidade , o que está já aparecendo no termo da variação do momento (fluxo de momento). - Assim, aplicando a 2ª lei (variação de momento = força externa):
Passo 4
Passagem para equação em função de
e simplificação:
- Usamos a relação
(pois ). Substituindo na equação do passo anterior:
- Para facilitar, introduzimos a nova função
. Então , ou seja . - Substituindo isso na equação obtemos:
- Multiplicando tudo por
:
Passo 5
Resolver a equação diferencial linear para
:
- A equação está na forma linear de 1ª ordem:
- O fator integrante
é
- Multiplicando a equação por
torna o lado esquerdo a derivada total:
Passo 6
Integração e aplicação da condição inicial:
- Integramos ambos os membros de
até :
- A condição inicial é
. - Calculamos a integral:
- Substituindo tudo:
Passo 7
Isolando
e arrumando a expressão para a forma pedida:
- Reescrevendo:
- Observe que podemos escrever os termos com potências cúbicas como parte de
. Em particular,
- Subtraindo os termos apropriados e reorganizando (fatorizando convenientemente) chegamos a:
- Dividindo por
obtém-se