EXP 1
Em um laboratório de ensino um estudante dispoẽ de luz de comprimento de onda de 650 nm e uma fenda de 0,10 \mathrm{~mm}. Para que ângulos o estudante encontrará mínimos de difração?
Se colocar um anteparo a 1,20 \mathrm{~m} da fenda, qual será a distância esperada entre os mínimos em cada lado do máximo central ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 650\\ \mathrm{nm}.
  • Largura da fenda: a = 0,10\\ \mathrm{mm}.
  • Distância da fenda ao anteparo: L = 1,20\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
  1. Para que ângulos o estudante encontrará os mínimos de difração (ou seja, quais \theta correspondem aos mínimos)?
  2. Se colocar um anteparo a 1,20\\ \mathrm{m} da fenda, qual será a distância esperada entre os mínimos de cada lado do máximo central (distância entre o mínimo de m=-1 e o mínimo de m=+1)?

Passo 2

Apresentar a condição dos mínimos (a fórmula que usamos) e explicar o que cada símbolo significa.
  • Para uma fenda única, os mínimos do padrão de difração ocorrem quando diferentes partes da fenda interferem destrutivamente; o resultado padrão (derivado por dividir a abertura em zonas que se cancelam) é a condição:
a \sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (em metros),
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo central (o máximo central),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (em metros),
  • m é um inteiro não nulo: m=\pm1,\pm2,\pm3,\ldots.
    Isso dá os ângulos \theta_m onde aparecem os mínimos.

Passo 3

Converter as unidades e escrever a expressão prática para \theta_m; calcular os primeiros mínimos para termos uma noção numérica.
  • Converter unidades:
\lambda = 650\\ \mathrm{nm} = 650\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}, \qquad a = 0,10\\ \mathrm{mm} = 1,0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Isolar \theta_m:
\sin\theta_m = \frac{m\,\lambda}{a}.
  • Calcular para m=1,2,3 (os primeiros mínimos, que são os mais importantes na prática):
    • Para m=1:
    \sin\theta_1 = \frac{1\cdot 650\times10^{-9}}{1,0\times10^{-4}} = 6,5\times10^{-3}.Como o valor é pequeno, \theta_1 \approx \arcsin(6,5\times10^{-3}) \approx 6,5\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}. Em graus: \theta_1 \approx 0,373^\circ.
    • Para m=2:
    \sin\theta_2 = 2\cdot6,5\times10^{-3}=1,30\times10^{-2}, \qquad \theta_2 \approx \arcsin(1,30\times10^{-2}) \approx 0,745^\circ.
    • Para m=3:
    \sin\theta_3 = 3\cdot6,5\times10^{-3}=1,95\times10^{-2}, \qquad \theta_3 \approx 1,118^\circ.
Observação: existem muitos mínimos (valores de m até que \sin\theta_m\le 1); o maior m possível é aproximadamente m_{\max}\approx \lfloor a/\lambda\rfloor \approx 153, mas na prática só os primeiros aparecem bem visíveis.

Passo 4

Calcular as posições dos mínimos no anteparo a L=1,20\\ \mathrm{m} e a distância entre os mínimos de cada lado do máximo central.
  • A posição vertical (à distância do centro do máximo) do mínimo de ordem m no anteparo é
y_m = L\tan\theta_m.
Para pequenos ângulos (aqui \theta é pequeno), vale a boa aproximação
\tan\theta_m \approx \sin\theta_m \approx \theta_m,
logo podemos usar a forma simples
y_m \approx L\sin\theta_m = L\frac{m\lambda}{a}.
  • Para o primeiro mínimo ( m=1):
y_1 \approx L\frac{\lambda}{a} = 1,20\cdot\frac{650\times10^{-9}}{1,0\times10^{-4}} = 1,20\cdot 6,5\times10^{-3} = 7,8\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 7,8\\ \mathrm{mm}.
  • A distância entre o mínimo do lado esquerdo ( m=-1) e o mínimo do lado direito ( m=+1) é simplesmente 2y_1:
\Delta = 2y_1 \approx 2\cdot 7,8\\ \mathrm{mm} = 15,6\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Resumo interpretativo rápido (dica para a prova):
  • Use sempre a fórmula \,a\sin\theta=m\lambda\, para mínimos de fenda única; explique cada símbolo antes de usar.
  • Para posições na tela quando L é grande e \theta pequeno, use y\approx L m\lambda/a (muito útil e rápido numa prova).
  • Se precisar de precisão maior para ângulos maiores, calcule \theta_m=\arcsin(m\lambda/a) e depois y_m=L\tan\theta_m.

Resposta

\displaystyle a\sin\theta = m\lambda\quad\Rightarrow\quad \sin\theta_m=\frac{m\lambda}{a},\\ m=\pm1,\pm2,\ldots \quad (ex.: \theta_1\approx0,373^\circ,\\ \theta_2\approx0,745^\circ,\\ \theta_3\approx1,118^\circ).
\displaystyle Distância entre os primeiros mínimos (cada lado do máximo central): \displaystyle \Delta \approx 15,6\\ \mathrm{mm}.

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