- Uma bola de massa
é lançada sobre um plano inclinado, de inclinação
com o solo, da sua base; o atrito cinético entre a bola e o plano é
. Quando a bola atinge uma altura
, sem necessariamente parar, o tempo do movimento é
.
a) Determine a velocidade com a qual a bola foi lançada.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Uma bola de massa
é lançada a partir da base de um plano inclinado que forma um ângulo com o solo. - Coeficiente de atrito cinético entre bola e plano:
. - Quando a bola atinge uma altura vertical
(medida a partir da base), o tempo decorrido desde o lançamento é .
O que o enunciado pede: - Determinar a velocidade com a qual a bola foi lançada (ou seja, a velocidade inicial ao longo do plano, que chamaremos de
).
Passo 2
Forças que atuam na bola enquanto sobe pelo plano (explicando cada termo):
- Peso: força vertical para baixo de módulo
, onde é a aceleração da gravidade. - Componente do peso ao longo do plano (tendendo a puxar a bola para baixo do plano):
. Aqui aparece porque é a componente vertical projetada ao longo da direção do plano. - Normal: força perpendicular ao plano de módulo
. Isso vem da decomposição do peso na direção normal. - Atrito cinético: como a bola está deslizando, o atrito tem módulo
e atua sempre contrário ao movimento; quando a bola sobe, o atrito aponta para baixo do plano.
Passo 3
Calcular a aceleração ao longo do plano:
- A resultante ao longo do plano, apontando para baixo do plano, é
- Pelo segundo lei de Newton
. Assim a aceleração para baixo do plano é
- Como a bola foi lançada para cima, sua aceleração ao longo da direção do movimento (para cima) é negativa:
Aqui
é a aceleração constante ao longo do plano durante o movimento ascendente.
Passo 4
Relacionar a altura vertical
com o deslocamento ao longo do plano
:
- Se a bola sobe uma distância
ao longo do plano, a elevação vertical corresponde a . - Portanto o deslocamento ao longo do plano é
Passo 5
Usar cinemática (movimento uniformemente acelerado) para relacionar
,
,
e
:
- A equação horária para deslocamento com aceleração constante é
onde
é a velocidade inicial ao longo do plano (para cima),
é a aceleração (negativa) e
é o tempo transcorrido.
- Substituindo
e na equação:
- Isolando
:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem:
- A expressão tem duas parcelas: a primeira
é a contribuição pura de deslocamento/tempo (se não houvesse aceleração), e a segunda corrige pela desaceleração causada por gravidade e atrito. - Se
(sem atrito), a fórmula reduz corretamente à versão sem atrito. - A fórmula também é válida quando a bola ainda está subindo ao atingir
(o enunciado permitia isso).