1. Uma bola de massa m é lançada sobre um plano inclinado, de inclinação \theta com o solo, da sua base; o atrito cinético entre a bola e o plano é \mu_{c}. Quando a bola atinge uma altura h, sem necessariamente parar, o tempo do movimento é \Delta t.
a) Determine a velocidade com a qual a bola foi lançada.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Uma bola de massa m é lançada a partir da base de um plano inclinado que forma um ângulo \theta com o solo.
  • Coeficiente de atrito cinético entre bola e plano: \mu_{c}.
  • Quando a bola atinge uma altura vertical h (medida a partir da base), o tempo decorrido desde o lançamento é \Delta t.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a velocidade com a qual a bola foi lançada (ou seja, a velocidade inicial ao longo do plano, que chamaremos de v_0).

Passo 2

Forças que atuam na bola enquanto sobe pelo plano (explicando cada termo):
  • Peso: força vertical para baixo de módulo mg, onde g é a aceleração da gravidade.
  • Componente do peso ao longo do plano (tendendo a puxar a bola para baixo do plano): mg\sin\theta. Aqui \sin\theta aparece porque é a componente vertical projetada ao longo da direção do plano.
  • Normal: força perpendicular ao plano de módulo N=mg\cos\theta. Isso vem da decomposição do peso na direção normal.
  • Atrito cinético: como a bola está deslizando, o atrito tem módulo \mu_{c}N=\mu_{c}mg\cos\theta e atua sempre contrário ao movimento; quando a bola sobe, o atrito aponta para baixo do plano.

Passo 3

Calcular a aceleração ao longo do plano:
  • A resultante ao longo do plano, apontando para baixo do plano, é
F_{\text{res}} = mg\sin\theta + \mu_{c}mg\cos\theta = mg\bigl(\sin\theta + \mu_{c}\cos\theta\bigr).
  • Pelo segundo lei de Newton \,F_{\text{res}}=m a_{\text{down}}. Assim a aceleração para baixo do plano é
a_{\text{down}} = g\bigl(\sin\theta + \mu_{c}\cos\theta\bigr).
  • Como a bola foi lançada para cima, sua aceleração ao longo da direção do movimento (para cima) é negativa:
a = -\,g\bigl(\sin\theta + \mu_{c}\cos\theta\bigr).
Aqui a é a aceleração constante ao longo do plano durante o movimento ascendente.

Passo 4

Relacionar a altura vertical h com o deslocamento ao longo do plano s:
  • Se a bola sobe uma distância s ao longo do plano, a elevação vertical corresponde a h = s\sin\theta.
  • Portanto o deslocamento ao longo do plano é
s = \frac{h}{\sin\theta}.

Passo 5

Usar cinemática (movimento uniformemente acelerado) para relacionar v_0, a, s e \Delta t:
  • A equação horária para deslocamento com aceleração constante é
s = v_0\,\Delta t + \tfrac{1}{2}a\,\Delta t^{2},
onde v_0 é a velocidade inicial ao longo do plano (para cima), a é a aceleração (negativa) e \Delta t é o tempo transcorrido.
  • Substituindo s=\dfrac{h}{\sin\theta} e a=-g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr) na equação:
\frac{h}{\sin\theta} \;=\; v_0\,\Delta t \;+\; \tfrac{1}{2}\Bigl(-g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\Bigr)\Delta t^{2}.
  • Isolando v_0:
v_0 = \frac{1}{\Delta t}\,\frac{h}{\sin\theta} \;+\; \frac{1}{2}\,g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\,\Delta t.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem:
  • A expressão tem duas parcelas: a primeira \dfrac{h}{\sin\theta\,\Delta t} é a contribuição pura de deslocamento/tempo (se não houvesse aceleração), e a segunda \tfrac{1}{2}g(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta)\Delta t corrige pela desaceleração causada por gravidade e atrito.
  • Se \mu_{c}=0 (sem atrito), a fórmula reduz corretamente à versão sem atrito.
  • A fórmula também é válida quando a bola ainda está subindo ao atingir h (o enunciado permitia isso).

Resposta

v_0 \;=\; \frac{h}{\sin\theta\,\Delta t} \;+\; \frac{1}{2}\,g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\,\Delta t

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