Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^{2}: uma rotação R em torno da origem, sentido anti-horário, por um ângulo de 60^\circ, e uma projeção T sobre o eixo x. Pede-se a matriz que representa a transformação composta R T (ou seja, aplicar T primeiro e depois R). Informações relevantes que temos explicitamente:
\text{Transformação }T:\; (x,y)\mapsto (x,0).çã
\text{Transformação }R:\; \text{rotação de }60^\circ\text{ no sentido anti-horário em torno da origem.}çãçãá
A tarefa é achar a matriz (na base canônica) de R T.

Passo 2

Primeiro identifiquemos a matriz de T na base canônica. Lembre-se: a matriz de uma transformação linear é dada pelas imagens dos vetores da base canônica como colunas. Os vetores da base canônica são e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1). Calculamos
T(e_{1})=(1,0),\qquad T(e_{2})=(0,0).
Portanto a matriz de T (colocando T(e_{1}) como primeira coluna e T(e_{2}) como segunda) é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora a matriz de R. Para uma rotação no plano de ângulo \theta no sentido anti-horário, a matriz na base canônica é
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui \theta=60^\circ, então
R=\begin{pmatrix}\cos 60^\circ & -\sin 60^\circ\\[4pt]\sin 60^\circ & \cos 60^\circ\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos os valores de cosseno e seno para 60^\circ:
\cos 60^\circ=\frac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em R,
R=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

A composição R T corresponde à multiplicação de matrizes R\cdot T (porque a matriz da composição é a matriz da transformação da esquerda multiplicada pela da direita). Então calculamos
R T=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Podemos multiplicar coluna a coluna: a primeira coluna do produto é R aplicada a \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (que é a primeira coluna de T), e a segunda coluna do produto é R aplicada a \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} (segunda coluna de T). Assim
R\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}, \qquad R\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo
R T=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a matriz encontrada coincide com a alternativa (A):
\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

(A)
\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}]

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