A tarefa é calcular a dimensão do subconjunto imagem T(\mathbb{R}^4)\subseteq\mathbb{R}^3, ou seja, o número de vetores linearmente independentes gerados pelas colunas da matriz que representa T.
Passo 2
Vamos escrever a matriz que representa T em relação à base canônica. As colunas são as imagens dos vetores canônicos e_1,e_2,e_3,e_4. A matriz A (de tamanho 3\times4) é:
Explicação rápida do porquê: cada coluna j contém os coeficientes da imagem de e_j nas três componentes dadas pelo enunciado.]
Passo 3
Conceito importante (passo didático): a dimensão da imagem de T é exatamente o posto (rank) da matriz A. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes (ou, equivalentemente, o número de linhas não nulas em uma forma escalonada por linhas). Para encontrar o posto calculamos a forma escalonada por operações elementares de linha, fazendo contas que você consegue fazer à mão na prova.
Passo 4
Começamos a escalonar A. Vou anotar as linhas como R_1,R_2,R_3. Inicialmente:
Observando a forma escalonada obtida, temos três linhas não-nulas: R_1, R_2 e R_3. Cada linha não-nula corresponde a um pivô (um leading entry) em colunas diferentes, então o posto da matriz é 3.
Interpretação: existem três vetores linearmente independentes na imagem de T, isto é, a imagem é um subespaço de dimensão 3 de \mathbb{R}^3. Note que não pode ser maior que 3 porque o contradomínio é \mathbb{R}^3, e aqui obtemos exatamente 3.
Passo 7
Conclusão final e incentivo rápido: o cálculo mostrou que o número máximo de colunas linearmente independentes é 3. Você fez certo em seguir passo a passo as operações — isso é exatamente o que pedem na prova. Vai dar bom!