Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}-x_{3}-2 x_{4}\right., \left.-2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}, \quad-x_{1}-3 x_{2}+x_{3}+6 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}-x_{2}-x_{3}-2x_{4},\;-2x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+3x_{4},\;-x_{1}-3x_{2}+x_{3}+6x_{4}\bigr)
e pergunta qual é a dimensão da imagem de T.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Componente 1: }x_{1}-x_{2}-x_{3}-2x_{4},\\\ &\text{Componente 2: }-2x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+3x_{4},\\\ &\text{Componente 3: }-x_{1}-3x_{2}+x_{3}+6x_{4}. \end{aligned}
A tarefa é calcular a dimensão do subconjunto imagem T(\mathbb{R}^4)\subseteq\mathbb{R}^3, ou seja, o número de vetores linearmente independentes gerados pelas colunas da matriz que representa T.

Passo 2

Vamos escrever a matriz que representa T em relação à base canônica. As colunas são as imagens dos vetores canônicos e_1,e_2,e_3,e_4. A matriz A (de tamanho 3\times4) é:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2\\[4pt] -2 & 4 & 3 & 3\\[4pt] -1 & -3 & 1 & 6 \end{pmatrix}.
Explicação rápida do porquê: cada coluna j contém os coeficientes da imagem de e_j nas três componentes dadas pelo enunciado.]

Passo 3

Conceito importante (passo didático): a dimensão da imagem de T é exatamente o posto (rank) da matriz A. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes (ou, equivalentemente, o número de linhas não nulas em uma forma escalonada por linhas). Para encontrar o posto calculamos a forma escalonada por operações elementares de linha, fazendo contas que você consegue fazer à mão na prova.

Passo 4

Começamos a escalonar A. Vou anotar as linhas como R_1,R_2,R_3. Inicialmente:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2\\[4pt] -2 & 4 & 3 & 3\\[4pt] -1 & -3 & 1 & 6 \end{pmatrix}.
Operação 1: eliminar o elemento abaixo do pivô 1 na coluna 1. Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Calculemos cada resultado:
  • Para R_2 + 2R_1:
\begin{aligned} &-2 + 2\cdot 1 = 0,\\\ &4 + 2\cdot(-1)=2,\\\ &3 + 2\cdot(-1)=1,\\\ &3 + 2\cdot(-2)=-1. \end{aligned}
Logo R_2'=(0,2,1,-1).
  • Para R_3 + R_1:
\begin{aligned} &-1 + 1 = 0,\\\ &-3 + (-1) = -4,\\\ &1 + (-1) = 0,\\\ &6 + (-2) = 4. \end{aligned}
Logo R_3'=(0,-4,0,4).
Após essas operações a matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -4 & 0 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Próxima etapa: eliminar o elemento -4 em R_3 na coluna 2 usando R_2. Faço R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2. Calculemos:
\begin{aligned} &0 + 2\cdot 0 = 0,\\\ &-4 + 2\cdot 2 = 0,\\\ &0 + 2\cdot 1 = 2,\\\ &4 + 2\cdot(-1) = 2. \end{aligned}
Assim R_3''=(0,0,2,2).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Observando a forma escalonada obtida, temos três linhas não-nulas: R_1, R_2 e R_3. Cada linha não-nula corresponde a um pivô (um leading entry) em colunas diferentes, então o posto da matriz é 3.
Interpretação: existem três vetores linearmente independentes na imagem de T, isto é, a imagem é um subespaço de dimensão 3 de \mathbb{R}^3. Note que não pode ser maior que 3 porque o contradomínio é \mathbb{R}^3, e aqui obtemos exatamente 3.

Passo 7

Conclusão final e incentivo rápido: o cálculo mostrou que o número máximo de colunas linearmente independentes é 3. Você fez certo em seguir passo a passo as operações — isso é exatamente o que pedem na prova. Vai dar bom!

Resposta

(D) 3

Exercícios relacionados