Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede que se escolha, entre as opções fornecidas, a matriz que representa a transformação composta R T. Informações fornecidas:
R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus.
T é a reflexão através do eixo x.
A tarefa: identificar qual das matrizes (A) a (H) corresponde à transformação composta R T.
Passo 2
Entender a reflexão T através do eixo x. Por definição, a reflexão no eixo x deixa a coordenada x inalterada e envia y em -y. Aplicando em vetores canônicos:
T(e_1) = e_1 porque e_1=(1,0) mantém y=0.
T(e_2) = -e_2 porque e_2=(0,1) tem y trocado de sinal.
Explicar a ordem da composição. A notação R T significa primeiro aplicar T ao vetor e depois aplicar R ao resultado; em termos de matrizes isso corresponde ao produto R\cdot T (matriz de R multiplicada pela matriz de T).
Uma maneira muito clara de obter a matriz composta é calcular as imagens dos vetores da base pela composição:
A primeira coluna da matriz de R T é (R T)(e_1)=R(T(e_1)).
A segunda coluna é (R T)(e_2)=R(T(e_2)).
Passo 5
Calcular R(T(e_1)) e R(T(e_2)) usando os resultados anteriores.
Assim as colunas da matriz de R T são, na ordem, \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) e \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\right). Portanto
R T=\left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right].]
Passo 6
Verificação alternativa por multiplicação direta de matrizes (mesma resposta, só para checar):