Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede que se escolha, entre as opções fornecidas, a matriz que representa a transformação composta R T. Informações fornecidas:
  • R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus.
  • T é a reflexão através do eixo x.
  • A tarefa: identificar qual das matrizes (A) a (H) corresponde à transformação composta R T.

Passo 2

Entender a reflexão T através do eixo x. Por definição, a reflexão no eixo x deixa a coordenada x inalterada e envia y em -y. Aplicando em vetores canônicos:
  • T(e_1) = e_1 porque e_1=(1,0) mantém y=0.
  • T(e_2) = -e_2 porque e_2=(0,1) tem y trocado de sinal.
A matriz de T na base canônica é portanto
T=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 3

Entender a rotação R anti-horária de 60^\circ. A fórmula geral da matriz de rotação por um ângulo \theta é
\left[\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right].
Para \theta=60^\circ sabemos \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
R=\left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 4

Explicar a ordem da composição. A notação R T significa primeiro aplicar T ao vetor e depois aplicar R ao resultado; em termos de matrizes isso corresponde ao produto R\cdot T (matriz de R multiplicada pela matriz de T).
Uma maneira muito clara de obter a matriz composta é calcular as imagens dos vetores da base pela composição:
  • A primeira coluna da matriz de R T é (R T)(e_1)=R(T(e_1)).
  • A segunda coluna é (R T)(e_2)=R(T(e_2)).

Passo 5

Calcular R(T(e_1)) e R(T(e_2)) usando os resultados anteriores.
  • T(e_1)=e_1. Então
R(T(e_1))=R(e_1)=\left(\cos60^\circ,\\ \sin60^\circ\right)=\left(\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • T(e_2)=-e_2. Então
R(T(e_2))=R(-e_2)=-R(e_2).
Calculando R(e_2): e_2=(0,1) é enviado por R em \left(-\sin60^\circ,\\ \cos60^\circ\right)=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \tfrac{1}{2}\right). Portanto
R(T(e_2))=-R(e_2)=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ -\tfrac{1}{2}\right).
Assim as colunas da matriz de R T são, na ordem, \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) e \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\right). Portanto
R T=\left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Verificação alternativa por multiplicação direta de matrizes (mesma resposta, só para checar):
R\cdot T= \left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2}\cdot1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot0 & \frac{1}{2}\cdot0 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot(-1)\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1 + \frac{1}{2}\cdot0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0 + \frac{1}{2}\cdot(-1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right].]

Resposta

(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]]

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