Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+2 z, 2 x+3 y+6 z,-x-5 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{23} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;2x+3y+6z,\;-x-5z).
O que nos é pedido:
  • Calcular B, a matriz que representa a inversa de T, isto é B=A^{-1} onde A é a matriz de T na base canônica.
  • Em particular, determinar o valor da entrada b_{23} (linha 2, coluna 3) da matriz B.
Informações relevantes extraídas do enunciado (matriz A na base canônica):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 6\\[4pt] -1 & 0 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Plano de resolução (explicação didática do método): vou calcular A^{-1} usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar o bloco esquerdo em I. Essas operações são invertíveis e, ao final, o bloco direito se tornará A^{-1}. Operações elementares sobre linhas correspondem a multiplicar por matrizes elementares (todas invertíveis), então o procedimento é válido e produz a inversa quando A é invertível.

Passo 3

Montando a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 6 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Objetivo: eliminar abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô). Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Cálculo linha a linha:
Para R_2:
  • Colunas da esquerda: (2,3,6) - 2(1,2,2) = (0,-1,2).
  • Bloco direito: (0,1,0) - 2(1,0,0) = (-2,1,0).
Para R_3:
  • Colunas da esquerda: (-1,0,-5) + (1,2,2) = (0,2,-3).
  • Bloco direito: (0,0,1) + (1,0,0) = (1,0,1).
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1. Faço R_2\leftarrow -R_2:
R_2 = (0,1,-2\mid 2,-1,0).
Matriz agora:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Eliminação das outras entradas na coluna 2 usando o pivô R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculando:
Para R_1:
  • Esquerda: (1,2,2) - 2(0,1,-2) = (1,0,6).
  • Direita: (1,0,0) - 2(2,-1,0) = (1-4,\,0+2,\,0) = (-3,2,0).
Para R_3:
  • Esquerda: (0,2,-3) - 2(0,1,-2) = (0,0,1).
  • Direita: (1,0,1) - 2(2,-1,0) = (1-4,\,0+2,\,1-0) = (-3,2,1).
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 6 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Agora o pivô da terceira coluna já é 1 na linha 3. Usar R_3 para zerar as entradas acima na coluna 3:
R_1 \leftarrow R_1 - 6R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
Calculando:
Para R_1:
  • Esquerda: (1,0,6) - 6(0,0,1) = (1,0,0).
  • Direita: (-3,2,0) - 6(-3,2,1) = (-3 +18,\;2 -12,\;0 -6) = (15,-10,-6).
Para R_2:
  • Esquerda: (0,1,-2) + 2(0,0,1) = (0,1,0).
  • Direita: (2,-1,0) + 2(-3,2,1) = (2-6,\,-1+4,\;0+2) = (-4,3,2).
R_3 permanece (0,0,1\mid -3,2,1).
Matriz final transformada:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 15 & -10 & -6\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right).]

Passo 8

Interpretação do resultado: o bloco da esquerda é agora a identidade I_3, portanto o bloco da direita é A^{-1}. Assim
B=A^{-1}=\begin{pmatrix} 15 & -10 & -6\\[4pt] -4 & 3 & 2\\[4pt] -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
A entrada pedida é b_{23}, isto é a entrada da segunda linha e terceira coluna da matriz B. Observando a matriz acima:
b_{23}=2.]

Resposta

(F) 2

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