Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+2 z, 2 x+3 y+6 z,-x-5 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{23} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;2x+3y+6z,\;-x-5z).
O que nos é pedido:
Calcular B, a matriz que representa a inversa de T, isto é B=A^{-1} onde A é a matriz de T na base canônica.
Em particular, determinar o valor da entrada b_{23} (linha 2, coluna 3) da matriz B.
Informações relevantes extraídas do enunciado (matriz A na base canônica):
Plano de resolução (explicação didática do método): vou calcular A^{-1} usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar o bloco esquerdo em I. Essas operações são invertíveis e, ao final, o bloco direito se tornará A^{-1}. Operações elementares sobre linhas correspondem a multiplicar por matrizes elementares (todas invertíveis), então o procedimento é válido e produz a inversa quando A é invertível.