Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-3)=(1,3,-1) e T(-1,2)=(-1,-2,-1). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
  • T(1,-3)=(1,3,-1).
  • T(-1,2)=(-1,-2,-1).
O que se pede:
  • Encontrar a matriz A tal que \,T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\,.
  • Em particular, determinar o valor da entrada a_{12} da matriz A.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores (1,-3) e (-1,2) e suas imagens em \mathbb{R}^{3} (os pares acima).
  • A transformação é linear (essa propriedade vai permitir escrever imagens de combinações como combinações das imagens).]

Passo 2

Representação matricial de uma transformação linear \n
Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}, a matriz A que representa T no padrão canônico tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica \;e_{1}=(1,0) e \;e_{2}=(0,1). Ou seja, se definirmos
a:=T(e_{1})=\begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]a_{2}\\[4pt]a_{3}\end{pmatrix}, \qquad b:=T(e_{2})=\begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\\[4pt]b_{3}\end{pmatrix},
então
A=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1}\\[4pt] a_{2} & b_{2}\\[4pt] a_{3} & b_{3} \end{pmatrix}.
Agora, use a linearidade: para vetores quaisquer (x,y) vale T(x,y)=x\,T(e_{1})+y\,T(e_{2})=x a + y b. Em particular, as imagens dadas podem ser escritas como combinações de a e b:
T(1,-3)=a-3b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad T(-1,2)=-a+2b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Montar o sistema vetorial \n
Escrevendo as duas equações vetor a vetor:
a-3b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad -\,a+2b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Uma maneira direta de resolver é somar as duas equações para eliminar a. Somando membro a membro:
(a-3b)+(-a+2b)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a soma e encontrar b \n
No lado direito, somando coordenadas:
\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+(-1)\\[4pt]3+(-2)\\[4pt]-1+(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
No lado esquerdo, (a-3b)+(-a+2b)=-b. Portanto
-\,b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Determinar a usando b \n
Use a primeira equação a-3b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Primeiro calcule 3b:
3b=3\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]-3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Então
a = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} + 3b = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[4pt]-3\\[4pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Construir a matriz A e ler a_{12} \n
As colunas de A são a e b, então
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1\\[4pt] 5 & 2 \end{pmatrix}.
A entrada \,a_{12}\, é a entrada da primeira linha e segunda coluna, que vale \,0.]

Resposta

(A)

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