Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-3)=(1,3,-1) e T(-1,2)=(-1,-2,-1). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
T(1,-3)=(1,3,-1).
T(-1,2)=(-1,-2,-1).
O que se pede:
Encontrar a matriz A tal que \,T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\,.
Em particular, determinar o valor da entrada a_{12} da matriz A.
Informações relevantes dadas:
Os vetores (1,-3) e (-1,2) e suas imagens em \mathbb{R}^{3} (os pares acima).
A transformação é linear (essa propriedade vai permitir escrever imagens de combinações como combinações das imagens).]
Passo 2
Representação matricial de uma transformação linear \n
Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}, a matriz A que representa T no padrão canônico tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica \;e_{1}=(1,0) e \;e_{2}=(0,1). Ou seja, se definirmos
Agora, use a linearidade: para vetores quaisquer (x,y) vale T(x,y)=x\,T(e_{1})+y\,T(e_{2})=x a + y b. Em particular, as imagens dadas podem ser escritas como combinações de a e b: