Considere em \mathbb{R}^{3} a base \alpha=\{(1,1,0),(1,1,1),(1,-2,1)\} e denote por \beta a base canônica do \mathbb{R}^{2}. Se T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x-y+2 z, x-y-z) determine [T]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(\,x-y+2z,\;x-y-z\,)
e pede a matriz de T relativa à base \alpha=\{(1,1,0),(1,1,1),(1,-2,1)\} no domínio e à base canônica \beta em \mathbb{R}^2. Vamos usar que, para uma base \alpha=\{v_1,v_2,v_3\}, a coluna j de [T]_{\beta}^{\alpha} é simplesmente as coordenadas de T(v_j) em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Denotemos
v_1=(1,1,0),\quad v_2=(1,1,1),\quad v_3=(1,-2,1).
Então as colunas da matriz serão T(v_1),T(v_2),T(v_3) escritas em coordenadas canônicas.

Passo 3

Calculemos cada imagem:
Para v_1=(1,1,0) temos
T(v_1)=\bigl(1-1+2\cdot0,\;1-1-0\bigr)=(0,0).
Para v_2=(1,1,1) temos
T(v_2)=\bigl(1-1+2\cdot1,\;1-1-1\bigr)=(2,-1).
Para v_3=(1,-2,1) temos
T(v_3)=\bigl(1-(-2)+2\cdot1,\;1-(-2)-1\bigr)=(5,2).

Passo 4

Como a base \beta é a canônica em \mathbb{R}^2, as coordenadas de cada T(v_j) são exatamente os vetores encontrados. Assim
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(v_1), a segunda é T(v_2) e a terceira é T(v_3).

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

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