Sejam
uma transformação linear injetora e
uma base de
. Verifique que o conjunto
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma aplicação linear injetora e que
é uma base de
. Queremos mostrar que
é uma base de .
Conteúdo: para provar que um conjunto é base de um espaço vetorial de dimensão finita, basta verificar que ele é linearmente independente e que seu número de vetores coincide com a dimensão do espaço (ou alternativamente que gera o espaço).
é uma base de
Conteúdo: para provar que um conjunto é base de um espaço vetorial de dimensão finita, basta verificar que ele é linearmente independente e que seu número de vetores coincide com a dimensão do espaço (ou alternativamente que gera o espaço).
Passo 2
Mostramos que
é linearmente independente. Seja uma combinação linear nula:
Pela linearidade de
, isto equivale a
Como
é injetora, o único vetor de
que vai em
é o
. Logo
Mas
é base de
, portanto seus coeficientes são todos nulos:
Concluímos que
é linearmente independente.
Passo 3
Para ver que
gera
, usamos dimensões. Como
é base de
, tem-se
Pela fórmula da dimensão para transformações lineares injetoras,
Se
também tem
, então
é um subespaço de
de mesma dimensão que
, o que força
. Logo
é sobrejetora em
e
gera
.
Resposta
O conjunto
é base de
.