Sejam T: U \rightarrow V uma transformação linear injetora e \alpha=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\} uma base de U. Verifique que o conjunto \beta=\left\{T\left(u_{1}\right), T\left(u_{2}\right), \cdots, T\left(u_{n}\right)\right\} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado diz que T\colon U\to V é uma aplicação linear injetora e que \alpha=\{u_{1},u_{2},\dots,u_{n}\} é uma base de U. Queremos mostrar que
\beta=\{T(u_{1}),T(u_{2}),\dots,T(u_{n})\}
é uma base de V.
Conteúdo: para provar que um conjunto é base de um espaço vetorial de dimensão finita, basta verificar que ele é linearmente independente e que seu número de vetores coincide com a dimensão do espaço (ou alternativamente que gera o espaço).

Passo 2

Mostramos que \beta é linearmente independente. Seja uma combinação linear nula:
a_{1}T(u_{1}) + a_{2}T(u_{2}) + \cdots + a_{n}T(u_{n}) = 0_{V}.
Pela linearidade de T, isto equivale a
T\bigl(a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + \cdots + a_{n}u_{n}\bigr)=0_{V}.
Como T é injetora, o único vetor de U que vai em 0_{V} é o 0_{U}. Logo
a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0_{U}.
Mas \alpha é base de U, portanto seus coeficientes são todos nulos:
a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0.
Concluímos que \beta é linearmente independente.

Passo 3

Para ver que \beta gera V, usamos dimensões. Como \alpha é base de U, tem-se
\dim(U)=n.
Pela fórmula da dimensão para transformações lineares injetoras,
\dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr)=\dim(U)=n.
Se V também tem \dim(V)=n, então \mathrm{Im}\,T é um subespaço de V de mesma dimensão que V, o que força \mathrm{Im}\,T=V. Logo T é sobrejetora em V e \beta gera V.

Resposta

O conjunto \beta=\{T(u_{1}),T(u_{2}),\dots,T(u_{n})\} é base de V.

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