Considere \mathbb{R} com a métrica euclidiana e a, b \in \mathbb{R}, com a<b. Nessas condições, determine a fronteira dos seguintes conjuntos:
(b) B=\{a, b\};
Passo 1
O enunciado pede a fronteira \partial B de B=\{a,b\} em \mathbb{R} com a métrica usual. Vamos usar a definição
\partial B = \overline B \setminus \mathrm{int}(B),
onde \overline B é a aderência de B e \mathrm{int}(B) é o interior de B.
Passo 2
Em \mathbb{R}, conjuntos finitos são fechados, pois cada ponto é isolado. Logo
\overline B = B = \{a,b\}.
Passo 3
O interior de B é o maior subconjunto aberto contido em B. Como B tem apenas os pontos a e b, qualquer intervalo aberto em torno de a ou de b contém pontos que não pertencem a B. Portanto
\mathrm{int}(B) = \emptyset.
Passo 4
Substituindo na definição de fronteira:
\partial B = \overline B \setminus \mathrm{int}(B) = \{a,b\} \setminus \emptyset = \{a,b\}.