Considere \mathbb{R} com a métrica euclidiana e a, b \in \mathbb{R}, com a<b. Nessas condições, determine a fronteira dos seguintes conjuntos:
(a) A=[a, b);
Passo 1
O enunciado diz que estamos em \mathbb{R} com a métrica euclidiana e define o conjunto
A = [a,b),
onde a<b. O objetivo é encontrar a fronteira de A, ou seja, \partial A.
Passo 2
Vamos usar a definição de fronteira:
\partial A = \overline{A} \;\setminus\; \operatorname{int}(A),
onde \overline{A} é o fecho (ou aderência) de A e \operatorname{int}(A) é o interior de A.
Passo 3
Calcular o fecho \overline{A}:
Em \mathbb{R}, todo ponto de acumulação de [a,b) e todos os pontos de [a,b) estão em \overline{A}. Note que b é ponto de acumulação porque existem pontos de [a,b) arbitrariamente próximos de b. Logo,
\overline{A} = [a,b].
Passo 4
Calcular o interior \operatorname{int}(A):
Um ponto x pertence ao interior se existe um intervalo aberto centrado em x totalmente contido em [a,b). Isso vale para x\in(a,b), mas não vale nem para x=a nem para x=b. Portanto,
\operatorname{int}(A) = (a,b).
Passo 5
Encontrar a fronteira usando \partial A = \overline{A}\setminus\operatorname{int}(A):