Considere \mathbb{R} com a métrica euclidiana e a, b \in \mathbb{R}, com a<b. Nessas condições, determine a fronteira dos seguintes conjuntos:
D=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede a fronteira do conjunto D=\mathbb{Z} no espaço métrico \mathbb{R} com a métrica euclidiana. Vamos usar o conceito de fronteira de um conjunto em \mathbb{R}, que envolve fechamento e interior do conjunto.

Passo 2

Recordando a definição: para D\subset\mathbb{R}, a fronteira de D é
\partial D = \overline{D}\,\setminus\,\operatorname{int}(D),
onde \overline{D} é o fechamento de D e \operatorname{int}(D) é o interior de D.

Passo 3

Calcular o fechamento \overline{\mathbb{Z}}. Como \mathbb{Z} é um conjunto fechado em \mathbb{R} (o complemento é \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(n,n+1), uma união de abertos), temos \overline{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}.

Passo 4

Calcular o interior \operatorname{int}(\mathbb{Z}). Para qualquer z\in\mathbb{Z} e qualquer raio r>0, a bola \{x\in\mathbb{R}:|x-z|<r\} contém pontos não inteiros. Logo nenhum inteiro é ponto interior e
\operatorname{int}(\mathbb{Z}) = \emptyset.

Passo 5

Aplicando a definição de fronteira:
\partial\mathbb{Z} = \overline{\mathbb{Z}}\setminus\operatorname{int}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}\setminus\emptyset = \mathbb{Z}.

Resposta

\partial D = \mathbb{Z}.

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