Considere ( ( M, d ) um espaço métrico e A, B \subset M. Com base nessas informações, mostre que \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, num espaço métrico (M,d), a clausura de A\cup B coincide com a união das clausuras de A e de B. Vamos usar a definição de clausura via bolas abertas: \overline{S}=\{x\in M\mid\forall r>0,\;B(x,r)\cap S\neq\varnothing\}.

Passo 2

Mostramos primeiro que
\overline{A}\cup\overline{B}\;\subset\;\overline{A\cup B}.
Seja x\in\overline{A}\cup\overline{B}. Então ou x\in\overline{A} ou x\in\overline{B}. Suponha, sem perda de generalidade, que x\in\overline{A}. Então para todo r>0 temos
B(x,r)\cap A\neq\varnothing,
e daí imediatamente
B(x,r)\cap(A\cup B)\supset B(x,r)\cap A\neq\varnothing.
Logo x\in\overline{A\cup B}. O caso x\in\overline{B} é análogo.

Passo 3

Agora mostramos
\overline{A\cup B}\;\subset\;\overline{A}\cup\overline{B}.
Seja x\in\overline{A\cup B}. Suponha, buscando contradição, que x\notin\overline{A} e x\notin\overline{B}. Então existem r_1>0 e r_2>0 tais que
B(x,r_1)\cap A=\varnothing \quad\text{e}\quad B(x,r_2)\cap B=\varnothing.
Tomando r=\min\{r_1,r_2\}, teríamos
B(x,r)\cap(A\cup B) = \bigl(B(x,r)\cap A\bigr)\cup\bigl(B(x,r)\cap B\bigr) = \varnothing\cup\varnothing = \varnothing,
o que contradiz x\in\overline{A\cup B}. Portanto não é possível ter x\notin\overline{A} e x\notin\overline{B} simultaneamente, ou seja, x\in\overline{A}\cup\overline{B}.

Passo 4

Das inclusões dos Passos 2 e 3 concluímos
\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup\overline{B}.

Resposta

\overline{A\cup B} \;=\;\overline{A}\;\cup\;\overline{B}.

Exercícios relacionados