Considere ( ( M, d ) um espaço métrico e A, B \subset M. Com base nessas informações, mostre que \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, num espaço métrico (M,d), a clausura de A\cup B coincide com a união das clausuras de A e de B. Vamos usar a definição de clausura via bolas abertas: \overline{S}=\{x\in M\mid\forall r>0,\;B(x,r)\cap S\neq\varnothing\}.
Seja x\in\overline{A}\cup\overline{B}. Então ou x\in\overline{A} ou x\in\overline{B}. Suponha, sem perda de generalidade, que x\in\overline{A}. Então para todo r>0 temos
B(x,r)\cap(A\cup B) = \bigl(B(x,r)\cap A\bigr)\cup\bigl(B(x,r)\cap B\bigr) = \varnothing\cup\varnothing = \varnothing,
o que contradiz x\in\overline{A\cup B}. Portanto não é possível ter x\notin\overline{A} e x\notin\overline{B} simultaneamente, ou seja, x\in\overline{A}\cup\overline{B}.