Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), onde \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)\} e \beta=\{(1,0,0),(0,-1,1),(1,0,2)\}. Determine as coordenadas, em relação à base \beta, dos vetores a seguir.
v=(1,7,11)

Passo 1

Queremos achar as coordenadas de v=(1,7,11) na base \beta=\{\,b_{1},b_{2},b_{3}\}, onde
b_{1}=(1,0,0),\quad b_{2}=(0,-1,1),\quad b_{3}=(1,0,2).
Ou seja, precisamos encontrar escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que
v = c_{1}b_{1} + c_{2}b_{2} + c_{3}b_{3}.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas usuais, temos
c_{1}(1,0,0) + c_{2}(0,-1,1) + c_{3}(1,0,2) = (\,c_{1}+c_{3},\,-c_{2},\,c_{2}+2c_{3}\,).
Isso deve ser igual a (1,7,11), gerando o sistema
\begin{cases} c_{1} + c_{3} = 1,\\\\ -\,c_{2} = 7,\\\ c_{2} + 2c_{3} = 11. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação extraímos
c_{2} = -7.

Passo 4

Substituindo c_{2}=-7 na terceira equação:
-7 + 2c_{3} = 11 \quad\Longrightarrow\quad 2c_{3} = 18 \quad\Longrightarrow\quad c_{3} = 9.

Passo 5

Por fim, da primeira equação:
c_{1} + c_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c_{1} = 1 - c_{3} = 1 - 9 = -8.

Resposta

As coordenadas de v na base \beta são
[v]_{\beta} = \bigl(c_{1},c_{2},c_{3}\bigr) = (-8,\,-7,\,9).

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