Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), onde \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)\} e \beta=\{(1,0,0),(0,-1,1),(1,0,2)\}. Determine as coordenadas, em relação à base \beta, dos vetores a seguir.
w=(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede para escrevê-lo vetor w=(x,y,z) em coordenadas relativas à base \beta=\{(1,0,0),(0,-1,1),(1,0,2)\}.
Isso significa achar escalares c_1,c_2,c_3 tais que
c_1\,(1,0,0)+c_2\,(0,-1,1)+c_3\,(1,0,2) \;=\;(x,y,z).

Passo 2

Escrevendo a soma de vetores e igualando componentes, obtemos o sistema
\begin{cases} c_1 + c_3 = x,\\\\ -\,c_2 = y,\\\ \phantom{-}c_2 + 2\,c_3 = z. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
c_2 = -\,y.
Substituindo na terceira:
-\,y + 2\,c_3 = z \quad\Longrightarrow\quad c_3 = \frac{z + y}{2}.
Finalmente, da primeira:
c_1 = x - c_3 = x - \frac{z + y}{2} = \frac{2\,x - y - z}{2}.

Resposta

As coordenadas de w em relação à base \beta são
[w]_{\beta} = \Bigl(\,\tfrac{2x - y - z}{2},\;-y,\;\tfrac{z + y}{2}\Bigr).

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