Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear definido por T(v)=A . v, onde A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right). Encontrar [T]_{\alpha}^{\alpha}, em cada item abaixo.
\alpha é a base canônica do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que temos o operador linear \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(v)=A\,v, \quad A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix},
e pede a matriz de T relativa à base canônica \alpha=\{e_1,e_2\}.
Conteúdo necessário: saber que, em base canônica, a matriz de T tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(e_j) na própria base canônica.

Passo 2

Calculamos T(e_1) e T(e_2):
T(e_1)=A\,e_1 =\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},
T(e_2)=A\,e_2 =\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}.
Na base canônica, essas colunas são exatamente as colunas da matriz de T.

Resposta

[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix}.]

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