Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{2} \cap W_{3}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores de W_{2}\cap W_{3}, onde W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y=0,\;x+z=0\} e W_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+2y-3z=0\}.
Para encontrar a interseção, basta resolver simultaneamente as três equações lineares que definem W_{2} e W_{3}.

Passo 2

Das equações de W_{2} temos
x-2y=0\quad\Longrightarrow\quad x=2y,
x+z=0\quad\Longrightarrow\quad z=-x=-2y.
Substituindo em W_{3}:
x+2y-3z=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 2y -3(-2y)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y+2y+6y=0 \quad\Longrightarrow\quad 10y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.

Passo 3

De y=0 segue x=2y=0 e z=-2y=0. Logo o único vetor que satisfaz todas as equações é (0,0,0).

Resposta

W_{2}\cap W_{3}=\{(0,0,0)\}.

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