Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{1} \cap W_{3}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para a interseção dos subespaços \,W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x-2y=0\} e \,W_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+2y-3z=0\}.
Conteúdo envolvido: parametrização de subespaços definidos por equações lineares e resolução de sistemas para encontrar a interseção.

Passo 2

Parametrizamos W_{1}. Da equação x-2y=0 segue x=2y. Logo qualquer vetor de W_{1} é
(2y,y,z) =y\,(2,1,0)+z\,(0,0,1).
Assim
W_{1}=\Span\{(2,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 3

Parametrizamos W_{3}. Da equação x+2y-3z=0 segue x=-2y+3z. Logo qualquer vetor de W_{3} é
(-2y+3z,y,z) =y\,(-2,1,0)+z\,(3,0,1).
Assim
W_{3}=\Span\{(-2,1,0),(3,0,1)\}.

Passo 4

Para estar na interseção, um vetor (x,y,z) deve satisfazer simultaneamente
x-2y=0 \quad\text{e}\quad x+2y-3z=0.
Substituindo x=2y na segunda:
2y+2y-3z=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y-3z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\tfrac{4}{3}y.
Então
x=2y,\quad z=\tfrac{4}{3}y,
e o vetor genérico é
(y,\,y,\,\tfrac{4}{3}y) =y\,(2,1,\tfrac{4}{3}).

Passo 5

Para evitar frações, multiplicamos o gerador por 3:
3\,(2,1,\tfrac{4}{3})=(6,3,4).
Logo
W_{1}\cap W_{3}=\Span\{(6,3,4)\}.

Resposta

Um conjunto de geradores de W_{1}\cap W_{3} é \{(6,3,4)\}.

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