(a) (10 pontos) Escreva os vetores (1,0,0),(0,1,0) e ( 0,0,1 ) como combinação linear de
\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} .
(b) ( 15 pontos) Calcule a matriz da transformação linear T na base canônica de \mathbb{R}^{3}. Em função do parâmetro h, determine uma base para a imagem de T.
(c) (10 pontos) Determine o(s) valor(es) de h, se existirem, que tornam T injetora.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} (dependendo de h\in\mathbb{R}) e fornece os valores de T em três vetores:
As perguntas são:
(a) escrever os vetores da base canônica (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) como combinações lineares de \{v_{1},v_{2},v_{3}\};
(b) calcular a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3} e, em função de h, determinar uma base para \mathrm{Im}(T);
(c) determinar os valores de h (se existirem) que tornam T injetora.
Passo 2
Método para (a): para cada vetor da base canônica e_i\) vou procurar escalares \(a,b,c\) tais que
\[a v_{1}+ b v_{2}+ c v_{3} = e_i.
Escrevo as equações componentes e resolvo o sistema para a,b,c. Faço isso primeiro para e_{1}=(1,0,0).
Da terceira equação c=-b\]. Da primeira \(a=-c=b. Substituindo em a+b=1 dá b+b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}. Assim a=\tfrac{1}{2},\\ c=-\tfrac{1}{2}. Logo
Para determinar uma base explícita de \mathrm{Im}(T) dependendo de h, analiso a independência linear das colunas. Como a quarta linha é sempre zero, posso olhar na submatriz 3\times 3 formada pelas três primeiras linhas. Essa submatriz triangular superior tem determinante
Se esse determinante for não nulo (isto é, se h\neq 1 e h\neq 2), então as três colunas são linearmente independentes e \dim\mathrm{Im}(T)=3, logo uma base para \mathrm{Im}(T) é
Temos T(e_{1})=0 e T(e_{2}),T(e_{3}) são linearmente independentes, portanto \dim\mathrm{Im}(T)=2 e uma base possível é
\{(1,1,0,0),\\ (1,0,1,0)\}.
Passo 12
Conclusão sobre injetividade (parte (c)): T é injetora se, e somente se, \ker T=\{0\}, o que equivale a \operatorname{rank}(T)=3 (dimensão do domínio). Pelo cálculo do determinante acima, isso ocorre exatamente quando h\neq 1 e h\neq 2.
Se h\neq 1 e h\neq 2: \displaystyle \Bigl\{\Bigl(1-\tfrac{h}{2},0,0,0\Bigr),\\ \Bigl(\tfrac{h}{2},1,0,0\Bigr),\\ \Bigl(\tfrac{h}{2},0,h-1,0\Bigr)\Bigr\}.
Se h=1: \{(1,0,0,0),\\ (0,1,0,0)\}.
Se h=2: \{(1,1,0,0),\\ (1,0,1,0)\}.
(c) T é injetora exatamente quando h\neq 1 e h\neq 2.]