(a) ( 12 pontos) Determine os valores de s para os quais o sistema possui: uma única solução; infinitas soluções; nenhuma solução.
(b) (6 pontos) Para cada caso acima, determine o posto e a nulidade de A em termos de s.
(c) ( 12 pontos) Para os valores de s para os quais a nulidade de A é 1 , encontre uma base para \operatorname{Nul} A.
(a) Determinar os valores de s para os quais o sistema linear correspondente tem: uma única solução; infinitas soluções; nenhuma solução.
(b) Para cada caso acima, determinar o posto (\operatorname{rank}) e a nulidade (\dim\operatorname{Nul}A) da matriz A (a parte de coeficientes, 4×4) em termos de s.
(c) Para os valores de s em que a nulidade de A é 1, encontrar uma base de \operatorname{Nul}A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz de coeficientes A é a submatriz formada pelas primeiras quatro colunas.
A última coluna é o vetor b.
As linhas de A (e da matriz aumentada) são explicitamente:
linha 1: \bigl(1,\;1,\;2,\;0\bigr) com b_1=3;
linha 2: \bigl(0,\;s-2,\;1,\;-2\bigr) com b_2=1;
linha 3: \bigl(0,\;0,\;s-2,\;1\bigr) com b_3=2;
linha 4: \bigl(0,\;0,\;0,\;s^{2}-4\bigr) com b_4=2+s.
Passo 2
Vou explicar a estratégia e os conceitos essenciais (bem devagar e direto, como numa cola para prova).
Teorema de Rouché–Capelli (critério de existência): o sistema linear é consistente (tem pelo menos uma solução) se e somente se\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A:b]).Se essa igualdade vale e é igual a 4 (número de incógnitas), a solução é única. Se vale e é menor que 4, há infinitas soluções (grau de liberdade = 4-\operatorname{rank}(A)).
Definição de posto: \operatorname{rank}(A) é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, que em prática se obtém contando linhas não nulas na forma escalonada por linhas.
Teorema posto-nulidade: para uma matriz A de 4 colunas,\dim\operatorname{Nul}A = 4 - \operatorname{rank}(A).
Observação prática: a matriz dada já está em forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal), então basta olhar quando uma linha inteira de coeficientes se anula para determinar o posto. Também checar a coluna aumentada para ver se uma linha de coeficientes nula tem ou não termo independente nulo (inconsistência).
Passo 3
Calcular \operatorname{rank}(A) analisando as linhas de A em função de s.
As linhas de A são:
\ell_1 é sempre não nula porque tem o primeiro elemento 1.
\ell_2 é sempre não nula porque mesmo se s-2=0 os outros componentes 1 e -2 não desaparecem simultaneamente.
\ell_3 é sempre não nula porque tem o quarto componente igual a 1.
\ell_4 é nula se, e somente se, s^{2}-4=0, i.e., s=\pm 2.
Logo:
Se s\neq\pm 2 então \ell_1,\ell_2,\ell_3,\ell_4 são todas não nulas e, além disso, estão em posição escalonada (cada linha tem primeiro pivô mais à direita que a anterior), portanto \operatorname{rank}(A)=4.
Se s=\pm 2 então \ell_4 torna-se a linha nula, mas \ell_1,\ell_2,\ell_3 continuam não nulas e independentes em forma escalonada, logo \operatorname{rank}(A)=3.
Determinar \operatorname{rank}([A:b]) e usar Rouché–Capelli para classificar soluções.
A última linha da matriz aumentada é (0,0,0,\;s^{2}-4\!:\!2+s). Três situações:
Se s\neq\pm 2: então s^{2}-4\neq 0, a linha 4 tem coeficientes não todos nulos, logo \operatorname{rank}([A:b])=4. Como \operatorname{rank}(A)=4, o sistema é consistente e, por ser posto 4 com 4 incógnitas, tem solução única.
Se s=2: então a linha 4 de A é nula (s^{2}-4=0), mas o termo independente é 2+s=4\neq 0. Assim a linha 4 da aumentada é (0,0,0:4), ou seja, há uma equação 0=4, incompatível. Logo \operatorname{rank}([A:b])=4 enquanto \operatorname{rank}(A)=3. Pelo teorema, o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
Se s=-2: então s^{2}-4=0 e 2+s=0, logo a linha 4 da aumentada é (0,0,0:0), ou seja, totalmente nula. Assim \operatorname{rank}([A:b])=\operatorname{rank}(A)=3. O sistema é consistente com posto 3<4, portanto tem infinitas soluções (grau de liberdade 4-3=1).
Resumo das partes (a):
Única solução: s\neq\pm 2.
Nenhuma solução: s=2.
Infinitas soluções: s=-2.
Passo 5
Responder a parte (b): posto e nulidade de A em cada caso (usar teorema posto-nulidade).
Se s\neq\pm 2:
\operatorname{rank}(A)=4.
\dim\operatorname{Nul}A=4-4=0.
Se s=\pm 2:
\operatorname{rank}(A)=3.
\dim\operatorname{Nul}A=4-3=1.
Observação: mesmo que para s=2 o sistema seja inconsistente, a nulidade de A (espaço nulo de A) depende só de A, portanto para s=2 também vale \dim\operatorname{Nul}A=1.
Passo 6
Resolver explicitamente \,A x=0\) para achar uma base de \(\operatorname{Nul}A\) quando \(\dim\operatorname{Nul}A=1\) (i.e., \(s=\pm 2\)).
Escrevendo \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\), as equações de \(Ax=0\) são:
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = 0,\\[4pt] (s-2)x_2 + x_3 -2x_4 = 0,\\[4pt] (s-2)x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] (s^2-4)x_4 = 0. \end{cases}
Tratar cada valor crítico.
Caso s=2\]:
- A quarta equação é \(0\cdot x_4=0 (sem restrição).
- A terceira é 0\cdot x_3 + x_4 = 0, logo x_4=0.
- A segunda é 0\cdot x_2 + x_3 -2x_4 = 0\Rightarrow x_3=0.
- A primeira dá x_1 + x_2 + 2\cdot 0 =0\Rightarrow x_1=-x_2.
Tomando parâmetro livre t=x_2, obtemos
x = ( -t,\; t,\; 0,\; 0 ) = t(-1,\,1,\,0,\,0).
Portanto uma base conveniente de \operatorname{Nul}A para s=2 é
\{\,(-1,\,1,\,0,\,0)^T\,\}.
Caso s=-2:
A quarta equação é 0\cdot x_4=0 (sem restrição).
A terceira é (s-2)x_3+x_4 = (-4)x_3 + x_4 =0\Rightarrow x_4 = 4x_3.
A segunda é (-4)x_2 + x_3 -2x_4 =0. Substituindo x_4=4x_3 dá-4x_2 + x_3 -8x_3 = -4x_2 -7x_3 =0 \Rightarrow x_2 = -\tfrac{7}{4}x_3.
A primeira é x_1 + x_2 + 2x_3 =0. Substituindo x_2 obtemosx_1 = -x_2 -2x_3 = -\bigl(-\tfrac{7}{4}x_3\bigr) -2x_3 = \tfrac{7}{4}x_3 -2x_3 = -\tfrac{1}{4}x_3.