Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
Região plana
;
Região plana
Passo 1
O enunciado dá a região plana
definida pela desigualdade dupla
O que é pedido: descrever analiticamente e geometricamente o lugar geométrico (a região do plano) determinado por essa condição.
Informações explícitas fornecidas:
- Há uma desigualdade inferior
. - Há uma desigualdade superior
.
Passo 2
Interpretação imediata das desigualdades (passo-a-passo das ideias).
- A desigualdade
significa que o ponto está sobre ou acima da parábola . - A desigualdade
significa que o ponto está sobre ou abaixo da reta horizontal .
Juntando-as,é o conjunto de pontos que estão ao mesmo tempo acima da parábola e abaixo da reta.
Passo 3
Determinar os pontos de interseção das curvas que limitam
.
Resolver (onde a parábola encontra a reta):
Resolver
Substituindo em
ou em
dá os pontos de interseção
e
.
Passo 4
Encontrar o domínio em
(projeção de
no eixo
).
Da desigualdade segue, em particular, que
. Assim
Da desigualdade
Portanto somente valores de
em
ocorrem na região
.
Passo 5
Escrever a descrição analítica final do conjunto
.
Forma conveniente com como parâmetro:
Forma conveniente com
Forma alternativa com
como parâmetro (útil se for integrar pela ordem
invertida):
(Observe que extraí
porque o mínimo de
sobre a parábola é
em
, então a projeção em
é
.)
Passo 6
Descrição geométrica detalhada (como desenhar e visualizar).
- A curva de baixo é a parábola
, que tem vértice em e abre para cima. - A curva de cima é a reta horizontal
. - As curvas se cruzam em
e . - A região
é a “faixa” fechada entre a parábola e a reta, para entre e . Em outras palavras, é o conjunto fechado e limitado do plano contido entre a parábola e a linha horizontal, com as fronteiras incluídas (inequações são , logo as bordas pertencem a ). - A região é simétrica em relação ao eixo
(pois a parábola é par).
Passo 7
Propriedades importantes e exemplos para treinar a intuição.
- Intervalo de
: . - Intervalo de
: . - Exemplos:
- O ponto
pertence a porque . - O ponto
não pertence porque (ou , quebra ). - O ponto
pertence (é interseção). - O ponto
pertence (vértice da parábola, está abaixo da reta).
- O ponto
- Topologia:
é fechado (contém suas fronteiras) e limitado, logo é compacto.
Passo 8
(Um bônus prático: área da região
— útil em exercícios de integração)
A área de pode ser calculada integrando a diferença entre o teto
e o chão
para
:
A área de
Calcular:
Logo
Isso confirma que a região é bem comportada e finita.
Resposta
Analítica:
\
Alternativa em termos de :
Alternativa em termos de
Geométrica: região plana fechada e limitada entre a parábola
(fronteira inferior) e a reta horizontal
(fronteira superior), com interseções em
e
; simétrica em relação ao eixo
.