Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
Região plana D: x^{2} \leq y \leq 1;

Passo 1

O enunciado dá a região plana D definida pela desigualdade dupla
x^{2} \leq y \leq 1.
O que é pedido: descrever analiticamente e geometricamente o lugar geométrico (a região do plano) determinado por essa condição.
Informações explícitas fornecidas:
  • Há uma desigualdade inferior y \geq x^{2}.
  • Há uma desigualdade superior y \leq 1.

Passo 2

Interpretação imediata das desigualdades (passo-a-passo das ideias).
  • A desigualdade y \geq x^{2} significa que o ponto (x,y) está sobre ou acima da parábola \;y=x^{2}.
  • A desigualdade y \leq 1 significa que o ponto está sobre ou abaixo da reta horizontal \;y=1.
    Juntando-as, D é o conjunto de pontos que estão ao mesmo tempo acima da parábola e abaixo da reta.

Passo 3

Determinar os pontos de interseção das curvas que limitam D.
Resolver x^{2}=1 (onde a parábola encontra a reta):
x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.
Substituindo em y=x^{2} ou em y=1 dá os pontos de interseção (-1,1) e (1,1).

Passo 4

Encontrar o domínio em x (projeção de D no eixo x).
Da desigualdade x^{2}\le y\le 1 segue, em particular, que x^{2}\le 1. Assim
x^{2}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1\le x\le 1.
Portanto somente valores de x em [-1,1] ocorrem na região D.

Passo 5

Escrever a descrição analítica final do conjunto D.
Forma conveniente com x como parâmetro:
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ ;\\\ -1\le x\le 1,\\ \\ x^{2}\le y\le 1\right\}.
Forma alternativa com y como parâmetro (útil se for integrar pela ordem dy\,dx invertida):
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ ;\\\ 0\le y\le 1,\\\ -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}\right\}.
(Observe que extraí 0\le y porque o mínimo de y sobre a parábola é 0 em x=0, então a projeção em y é [0,1].)

Passo 6

Descrição geométrica detalhada (como desenhar e visualizar).
  • A curva de baixo é a parábola \;y=x^{2}, que tem vértice em (0,0) e abre para cima.
  • A curva de cima é a reta horizontal \;y=1.
  • As curvas se cruzam em (-1,1) e (1,1).
  • A região D é a “faixa” fechada entre a parábola e a reta, para x entre -1 e 1. Em outras palavras, é o conjunto fechado e limitado do plano contido entre a parábola e a linha horizontal, com as fronteiras incluídas (inequações são \le, logo as bordas pertencem a D).
  • A região é simétrica em relação ao eixo y (pois a parábola é par).

Passo 7

Propriedades importantes e exemplos para treinar a intuição.
  • Intervalo de x: [-1,1].
  • Intervalo de y: [0,1].
  • Exemplos:
    • O ponto (0,0{,}5) pertence a D porque 0^{2}=0\le 0{,}5\le 1.
    • O ponto (1{,}2,0{,}9) não pertence porque 1{,}2\notin[-1,1] (ou 1{,}2^{2}=1{,}44>0{,}9, quebra y\ge x^2).
    • O ponto (1,1) pertence (é interseção).
    • O ponto (0,0) pertence (vértice da parábola, está abaixo da reta).
  • Topologia: D é fechado (contém suas fronteiras) e limitado, logo é compacto.

Passo 8

(Um bônus prático: área da região D — útil em exercícios de integração)
A área de D pode ser calculada integrando a diferença entre o teto y=1 e o chão y=x^{2} para x\in[-1,1]:
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx.Á
Calcular:
\int_{-1}^{1}1\,dx=\bigl[x\bigr]_{-1}^{1}=2, \qquad \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=2\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Logo
\text{Área}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.Á
Isso confirma que a região é bem comportada e finita.

Resposta

Analítica: D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ ;\\\ -1\le x\le 1,\\ \\ x^{2}\le y\le 1\right\} \
Alternativa em termos de y: D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ ;\\\ 0\le y\le 1,\\\ -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}\right\}
Geométrica: região plana fechada e limitada entre a parábola \;y=x^{2} (fronteira inferior) e a reta horizontal \;y=1 (fronteira superior), com interseções em (-1,1) e (1,1); simétrica em relação ao eixo y.

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