Considere
.
Calcule
, onde
é o quadrado de vértices (2,2), (-2, 2), (
) e (
) percorrido no sentido anti-horário.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede o integral de linha fechado
,
onde é o quadrado centrado na origem (vértices em
) percorrido anti-horário. Note que o campo é singular em
, ponto interior ao quadrado, então não podemos aplicar Green diretamente no interior inteiro; vamos isolar a singularidade num pequeno círculo e usar Green no anel.
onde
Passo 2
Calcular o rotacional de
em pontos onde está bem definido. Escrevendo
e
, temos
logo
para
.
Passo 3
Pelo teorema de Green em domínio anular (quadrado menos um pequeno disco de raio
em torno da origem),
Como o rotacional é zero, a integral sobre o quadrado é igual à integral sobre o círculo (ambos orientados anti-horário).
Passo 4
Parametrizamos o círculo de raio
por
. Então
e
Passo 5
Usamos a integral conhecida
Aqui
,
, logo