Considere \mathbf{F}(x, y)=\frac{-3 y}{9 x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{3 x}{9 x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}.
Calcule \oint_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} d l, onde C_{1} é o quadrado de vértices (2,2), (-2, 2), ( -2,-2 ) e ( 2,-2 ) percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\mathbf{F}(x,y)=\frac{-3y}{9x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\frac{3x}{9x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}
e pede o integral de linha fechado \displaystyle\oint_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl,
onde C_{1} é o quadrado centrado na origem (vértices em (\pm2,\pm2)) percorrido anti-horário. Note que o campo é singular em (0,0), ponto interior ao quadrado, então não podemos aplicar Green diretamente no interior inteiro; vamos isolar a singularidade num pequeno círculo e usar Green no anel.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F} em pontos onde está bem definido. Escrevendo P(x,y)=-\tfrac{3y}{9x^{2}+y^{2}} e Q(x,y)=\tfrac{3x}{9x^{2}+y^{2}}, temos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{-27x^{2}+3y^{2}}{(9x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{-27x^{2}+3y^{2}}{(9x^{2}+y^{2})^{2}},
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0
para (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Pelo teorema de Green em domínio anular (quadrado menos um pequeno disco de raio r em torno da origem),
\oint_{\text{quadrado}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;-\; \oint_{\text{círculo de raio }r}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{\text{anel}}(\partial_x Q-\partial_y P)\,dA =0.í
Como o rotacional é zero, a integral sobre o quadrado é igual à integral sobre o círculo (ambos orientados anti-horário).

Passo 4

Parametrizamos o círculo de raio r por \;x=r\cos t,\;y=r\sin t,\;t\in[0,2\pi]. Então
dx=-r\sin t\,dt,\quad dy=r\cos t\,dt
e
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\frac{-3y\,dx+3x\,dy}{9x^{2}+y^{2}} =\frac{3r^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}{r^{2}(9\cos^{2}t+\sin^{2}t)}\,dt =\frac{3\,dt}{9\cos^{2}t+\sin^{2}t}.

Passo 5

Usamos a integral conhecida
\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{A\cos^{2}t+B\sin^{2}t} =\frac{2\pi}{\sqrt{AB}} \quad(A,B>0).
Aqui A=9, B=1, logo
\oint_{\text{círculo}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =3\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{9\cos^{2}t+\sin^{2}t} =3\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{9\cdot1}} =3\cdot\frac{2\pi}{3} =2\pi.í

Resposta

\displaystyle 2\pi

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