Considere \mathbf{F}(x, y)=\frac{-3 y}{9 x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{3 x}{9 x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}.
Qual o rotacional do campo vetorial \mathbf{F} ?

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (curl) do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\frac{-3y}{9x^2+y^2}\,\mathbf{i}+\frac{3x}{9x^2+y^2}\,\mathbf{j}.
Estamos em duas dimensões, então usamos
\text{rot}\,\mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y},
onde P(x,y)=-\tfrac{3y}{9x^2+y^2} e Q(x,y)=\tfrac{3x}{9x^2+y^2}.

Passo 2

Calcular \partial Q/\partial x. Como
Q(x,y)=3x\,(9x^2+y^2)^{-1},
temos, pela regra do quociente ou produto,
\frac{\partial Q}{\partial x} =3\,(9x^2+y^2)^{-1} +3x\bigl(-1\bigr)(9x^2+y^2)^{-2}\cdot(18x) =\frac{3}{9x^2+y^2}-\frac{54x^2}{(9x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Calcular \partial P/\partial y. Como
P(x,y)=-3y\,(9x^2+y^2)^{-1},
temos
\frac{\partial P}{\partial y} =-3\,(9x^2+y^2)^{-1} -3y\bigl(-1\bigr)(9x^2+y^2)^{-2}\cdot(2y) =-\frac{3}{9x^2+y^2}+\frac{6y^2}{(9x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Aplicar a definição do rotacional:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\Bigl(\frac{3}{9x^2+y^2}-\frac{54x^2}{(9x^2+y^2)^2}\Bigr) -\Bigl(-\frac{3}{9x^2+y^2}+\frac{6y^2}{(9x^2+y^2)^2}\Bigr).

Passo 5

Reorganizando:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{6}{9x^2+y^2} -\frac{54x^2+6y^2}{(9x^2+y^2)^2} =\frac{6}{9x^2+y^2}-\frac{6(9x^2+y^2)}{(9x^2+y^2)^2} =0.

Resposta

O rotacional do campo \mathbf{F} é zero (em todo ponto onde 9x^2+y^2\neq0).

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