Considere \mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}-4 s+5\right)}. Determine f(t) usando:
Frações Parciais

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\frac{1}{s\bigl(s^2-4s+5\bigr)},
usando frações parciais e depois invertendo cada termo com a transformada inversa de Laplace. Vamos precisar de fatoração quadrática, decomposição em frações parciais e tabela básica de transformadas.

Passo 2

Fatora-se o denominador não transitivo:
s^2 - 4s + 5 = (s-2)^2 + 1.
Logo
F(s)=\frac{1}{s\bigl((s-2)^2+1\bigr)}.

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais
\frac{1}{s\bigl((s-2)^2+1\bigr)} =\frac{A}{s}+\frac{B(s-2)+C}{(s-2)^2+1}.
Multiplicando ambos os lados por s\bigl((s-2)^2+1\bigr)\), obtemos \[1 = A\bigl((s-2)^2+1\bigr) + \bigl(B(s-2)+C\bigr)s.
Expandindo e agrupando em potências de s:
1 = (A+B)\,s^2 +(-4A-2B+C)\,s + 5A.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -4A -2B + C = 0,\\\\ 5A = 1, \end{cases}
de onde A = \tfrac15\], \(B = -\tfrac15, C = \tfrac25.

Passo 4

Substituindo os valores na decomposição,
F(s) =\frac{1/5}{s} +\frac{-\tfrac15\,(s-2)+\tfrac25}{(s-2)^2+1} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{s} -\frac{1}{5}\,\frac{s-2}{(s-2)^2+1} +\frac{2}{5}\,\frac{1}{(s-2)^2+1}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}(t)=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-2}{(s-2)^2+1}\Bigr\}(t)=e^{2t}\cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s-2)^2+1}\Bigr\}(t)=e^{2t}\sin t.
Logo, aplicando linearidade,
f(t) =\frac{1}{5}\cdot1 -\frac{1}{5}\,e^{2t}\cos t +\frac{2}{5}\,e^{2t}\sin t,
para t\ge0.

Resposta

f(t)=\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{5}e^{2t}\cos t+\frac{2}{5}e^{2t}\sin t.

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