Verifique se f é função de A em B, com A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{a, b, c, d, e, f\}. Nos casos em que for função, diga se é injetora e/ou sobrejetora. Em cada caso, determine f - { }^{-1} e explique se f-{ }^{1} 'e também uma função.
f=\{(1, a),(2, b),(3, c),(4, d),(5, e),(6, f)\}

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A = \{1,2,3,4,5,6\},\quad B = \{a,b,c,d,e,f\}
e a relação
f = \{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e),(6,f)\}.
Precisamos verificar se f é uma função de A em B, depois checar injetividade e sobrejetividade, e então determinar f^{-1} e ver se ele também é função.

Passo 2

Para ser função de A em B, cada elemento de A deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em f. Aqui vemos que os primeiros componentes são \{1,2,3,4,5,6\}=A e não há repetição de valores. Portanto
f é de fato uma função de A em B.

Passo 3

Para testar injetividade, verificamos se imagens diferentes em A dão valores distintos em B. As imagens são \{a,b,c,d,e,f\}, todas distintas. Logo, f é injetora.

Passo 4

Para testar sobrejetividade, conferimos se o conjunto de valores de f (o contradomínio efetivo) cobre todo B. Como novamente vemos que
\{a,b,c,d,e,f\}=B, temos que f é sobrejetora.
Assim, f é bijetora (injetora e sobrejetora).

Passo 5

Como f é bijetora, existe a relação inversa
f^{-1} = \{(a,1),(b,2),(c,3),(d,4),(e,5),(f,6)\}.
Para ser função de B em A, cada elemento de B deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em f^{-1}. E de fato isso ocorre. Portanto f^{-1} também é função (e também bijetora).

Resposta

f é função de A em B, injetora e sobrejetora (bijetora).
f^{-1} = \{(a,1),(b,2),(c,3),(d,4),(e,5),(f,6)\},
e f^{-1} é também uma função de B em A.

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