2 Considere o conjunto: T=\omega . T=\{n \in \omega ; 0+2+4+\cdots+2 n=n(n+1)\}.
Prove que T=\omega.

Passo 1

O enunciado define \;T = \{\,n\in\omega \mid 0 + 2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)\}
e pede para mostrar que T = \omega.
O conteúdo é prova por indução nos números naturais, usando o princípio de indução: para toda parte T de \omega, se
  1. 0\in T, e
  2. sempre que k\in T então k+1\in T,
    então T = \omega.

Passo 2

Base da indução n=0.
O lado esquerdo da igualdade é
0 + 2 + 4 + \cdots + 2\cdot 0 = 0.
O lado direito é
0\,(0+1) = 0.
Logo 0+2+\cdots+2\cdot0 = 0\cdot1, isto é, 0\in T.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha k\in T, ou seja,
0 + 2 + 4 + \cdots + 2k = k(k+1).
Precisamos mostrar que k+1\in T, isto é,
0 + 2 + 4 + \cdots + 2k + 2(k+1) = (k+1)(k+2).
Pelo passo indutivo,
0 + 2 + \cdots + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)\bigl(k + 2\bigr),
como desejado. Assim k+1\in T.

Passo 4

Concluímos por indução que T é um subconjunto indutivo não vazio de \omega, logo T = \omega.

Resposta

T = \omega.

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