Considere que \mathcal{R} seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y=x^{3} e y=2 x-x^{2}. Calcule as seguintes quantidades:
a) A área de \mathcal{R}.
b) O volume obtido pela rotação de \mathcal{R} em torno do eixo x.
c) O volume obtido pela rotação de \mathcal{R} em torno do eixo y.
d) O volume obtido pela rotação de \mathcal{R} em torno da reta x=3.

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{R} é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = x^3 \quad\text{e}\quad y = 2x - x^2.
Pede-se
a) a área de \mathcal{R},
b) o volume ao rotacionar \mathcal{R} em torno do eixo x,
c) o volume em torno do eixo y e
d) o volume em torno da reta x=3.
Vamos usar integrais simples: diferença de funções para área, método das arruelas para rotação em torno do eixo x e método das cascas cilíndricas para as rotações em torno de eixos verticais.

Passo 2

Precisamos dos limites em x. Igualamos
x^3 = 2x - x^2 \;\Longrightarrow\; x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1)=0.
No primeiro quadrante ficam x=0 e x=1. Logo \mathcal{R} vai de x=0 até x=1, com curva superior y_{\text{top}}=2x-x^2 e inferior y_{\text{bot}}=x^3.

Passo 3

A área é
\text{Área} =\int_{0}^{1}\bigl[(2x - x^2) - x^3\bigr]\,dx =\int_{0}^{1}(2x - x^2 - x^3)\,dx.Á
Integral:
\int_{0}^{1}2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_0^1 = 1, \quad \int_{0}^{1}x^2\,dx = \tfrac13, \quad \int_{0}^{1}x^3\,dx = \tfrac14.
Logo
\text{Área} =1 - \tfrac13 - \tfrac14 =1 - \tfrac{7}{12} =\tfrac{5}{12}.Á

Passo 4

Rotação em torno do eixo x: usamos arruelas. O volume é
V_x =\pi\int_{0}^{1}\Bigl[(2x - x^2)^2 - (x^3)^2\Bigr]\,dx =\pi\int_{0}^{1}\bigl(4x^2 - 4x^3 + x^4 - x^6\bigr)\,dx.
Integramos cada termo de 0 a 1:
\int_0^1 4x^2\,dx = \tfrac{4}{3}, \quad \int_0^1(-4x^3)\,dx = -1, \quad \int_0^1 x^4\,dx = \tfrac15, \quad \int_0^1(-x^6)\,dx = -\tfrac17.
Somando:
\tfrac{4}{3} - 1 + \tfrac15 - \tfrac17 =\tfrac{140 - 105 + 21 - 15}{105} =\tfrac{41}{105},
portanto
V_x = \frac{41\pi}{105}.

Passo 5

Rotação em torno do eixo y: usamos cascas cilíndricas. O volume é
V_y =2\pi\int_{0}^{1}x\bigl[(2x - x^2) - x^3\bigr]\,dx =2\pi\int_{0}^{1}(2x^2 - x^3 - x^4)\,dx.
Integramos:
\int_0^1 2x^2\,dx = \tfrac{2}{3}, \quad \int_0^1(-x^3)\,dx = -\tfrac14, \quad \int_0^1(-x^4)\,dx = -\tfrac15.
Logo
V_y = 2\pi\Bigl(\tfrac{2}{3} - \tfrac14 - \tfrac15\Bigr) =2\pi\cdot\tfrac{13}{60} =\tfrac{13\pi}{30}.

Passo 6

Rotação em torno da reta x=3: também cascas cilíndricas, agora o raio é 3 - x.
V_{x=3} =2\pi\int_{0}^{1}(3 - x)\bigl[(2x - x^2) - x^3\bigr]\,dx.
Expandindo o integrando:
(3-x)(2x - x^2 - x^3) =6x -5x^2 -2x^3 + x^4.
Integramos de 0 a 1:
\int_0^1(6x -5x^2 -2x^3 + x^4)\,dx =3 - \tfrac{5}{3} - \tfrac12 + \tfrac15 =\tfrac{31}{30}.
Então
V_{x=3} =2\pi\cdot\tfrac{31}{30} =\tfrac{31\pi}{15}.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac{5}{12}
(b) \displaystyle \tfrac{41\pi}{105}
(c) \displaystyle \tfrac{13\pi}{30}
(d) \displaystyle \tfrac{31\pi}{15}

Exercícios relacionados