Considere que
seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Calcule as seguintes quantidades:
a) A área de
.
b) O volume obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
c) O volume obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
d) O volume obtido pela rotação de
em torno da reta
.
a) A área de
b) O volume obtido pela rotação de
c) O volume obtido pela rotação de
d) O volume obtido pela rotação de
Passo 1
O enunciado diz que
é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
Pede-se
a) a área de ,
b) o volume ao rotacionar em torno do eixo
,
c) o volume em torno do eixo e
d) o volume em torno da reta .
Vamos usar integrais simples: diferença de funções para área, método das arruelas para rotação em torno do eixo e método das cascas cilíndricas para as rotações em torno de eixos verticais.
a) a área de
b) o volume ao rotacionar
c) o volume em torno do eixo
d) o volume em torno da reta
Vamos usar integrais simples: diferença de funções para área, método das arruelas para rotação em torno do eixo
Passo 2
Precisamos dos limites em
. Igualamos
No primeiro quadrante ficam
e
. Logo
vai de
até
, com curva superior
e inferior
.
Passo 3
A área é
Integral:
Logo
Passo 4
Rotação em torno do eixo
: usamos arruelas. O volume é
Integramos cada termo de
a
:
Somando:
portanto
Passo 5
Rotação em torno do eixo
: usamos cascas cilíndricas. O volume é
Integramos:
Logo
Passo 6
Rotação em torno da reta
: também cascas cilíndricas, agora o raio é
.
Expandindo o integrando:
Integramos de
a
:
Então
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)