Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
\int_{0}^{\pi / 2} 2 \pi \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de volume
\int_{0}^{\pi/2}2\pi\cos^{2}(x)\,dx
e pede que descrevamos o sólido cujo volume é dado por essa fórmula. O conteúdo é aplicação do método dos discos (ou anéis) para volume por revolução em torno do eixo x.

Passo 2

No método dos discos, o volume de um sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região sob a curva y=R(x) de x=a até x=b é
V \;=\;\int_{a}^{b}\pi\bigl(R(x)\bigr)^{2}dx.
Aqui a nossa integral é
\int_{0}^{\pi/2}2\pi\cos^{2}(x)\,dx \;=\;\int_{0}^{\pi/2}\pi\Bigl(\sqrt{2}\cos x\Bigr)^{2}dx,
logo podemos identificar
R(x)=\sqrt{2}\,\cos x, \quad a=0, \quad b=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Isso significa que o sólido é gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região do primeiro quadrante limitada por:
  1. a curva
y = \sqrt{2}\,\cos x,
  1. o próprio eixo x y=0,
  2. a reta vertical x=0 e a reta vertical x=\pi/2.

Passo 4

Geometricamente, desenhe no plano xy a função y=\sqrt{2}\cos x de x=0 a x=\pi/2. A região entre essa curva e o eixo x forma uma “faixa” que, ao girar 360\circ em torno do eixo x, gera um sólido de revolução cujas “fatias” transversais são discos de raio R(x)=\sqrt{2}\cos x.

Resposta

O sólido é o volume obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região no primeiro quadrante limitada por y=\sqrt{2}\cos x, y=0, x=0 e x=\pi/2.

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