Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
\int_{0}^{\pi} \pi(2-\operatorname{sen}(x))^{2} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{\pi}\pi\bigl(2 - \sin(x)\bigr)^{2}\,dx
e pede para descrever o sólido correspondente. O conteúdo aqui é o cálculo de volumes por discos (método dos raios), onde a fórmula geral é
V = \int_{a}^{b} \pi\bigl[R(x)\bigr]^{2}\,dx.

Passo 2

Identificamos o raio variável
R(x) = 2 - \sin(x),
que é sempre positivo em x\in[0,\pi], já que \sin(x) varia de 0 a 1.

Passo 3

O sólido é gerado pela rotação do domínio planar limitado por:
– a curva y = 2 - \sin(x),
– a reta y = 0,
– as retas verticais x = 0 e x = \pi,
em torno do eixo x.

Passo 4

Ao girar esse domínio em torno do eixo x, cada seção perpendicular a x é um círculo de raio R(x). Em x=0 e em x=\pi o raio vale 2, e em x=\tfrac\pi2 o raio atinge o mínimo de 1. O sólido resultante tem forma de “cilindro” com raio oscilante, mais largo nas extremidades e mais estreito no meio.

Resposta

É o sólido de revolução obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada por y=2-\sin(x), y=0, x=0 e x=\pi. Ele tem seção circular de raio 2-\sin(x), variando de 2 (em x=0,\pi) até 1 (em x=\tfrac\pi2).

Exercícios relacionados