No \mathrm{R} \wedge 2, considere \mathrm{a}=(3,1) \mathrm{e} \mathrm{b}=(2,2). Encontre a projeção ortogonal de a sobre b, ou seja proj_b (a).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de a sobre b, ou seja \mathrm{proj}_b(a), onde foram dados os vetores
a = (3,1)\quad\text{e}\quad b = (2,2).
Lista das informações relevantes:
a=(3,1),\qquad b=(2,2).
A tarefa é calcular o vetor projeção de a na direção de b.

Passo 2

Conceito e fórmula da projeção ortogonal — o que é e por que usar:
A projeção ortogonal de a sobre b é o vetor na direção de b que representa a componente de a paralela a b. A fórmula padrão é
\mathrm{proj}_b(a)=\left(\frac{a\cdot b}{\|b\|^2}\right)b.
Explicando cada símbolo:
  • a\cdot b é o produto escalar (dot product) entre a e b.
  • \|b\| é o comprimento (norma) de b, e \|b\|^2 é o quadrado desse comprimento.
  • O coeficiente \dfrac{a\cdot b}{\|b\|^2} é um número escalar que diz quanto de b cabe em a.
    Vou calcular a\cdot b e \|b\|^2 passo a passo.

Passo 3

Produto escalar — definição e cálculo:
Para vetores em \mathbb{R}^2, o produto escalar é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Aplicando aos dados:
a\cdot b = 3\cdot 2 + 1\cdot 2 = 6 + 2 = 8.

Passo 4

Norma de b e seu quadrado:
A norma ao quadrado pode ser obtida pelo produto escalar de b consigo mesmo:
\|b\|^2 = b\cdot b = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8.

Passo 5

Calcular o coeficiente escalar da projeção:
\frac{a\cdot b}{\|b\|^2} = \frac{8}{8} = 1.
Interpretação: o componente de a na direção de b equivale exatamente a 1 vez o vetor b.

Passo 6

Multiplicar o coeficiente por b para obter a projeção:
\mathrm{proj}_b(a)=1\cdot b = b = (2,2).
Verificação útil (para sua confiança): a componente perpendicular é a-\mathrm{proj}_b(a)=(3,1)-(2,2)=(1,-1). Conferimos que isso é ortogonal a b porque
(1,-1)\cdot(2,2)=1\cdot 2 + (-1)\cdot 2 = 2-2=0,
ou seja, a diferença é realmente perpendicular a b, como deve ser.

Resposta

(2,2)

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