No
, considere
. Encontre a projeção ortogonal de a sobre b, ou seja proj_b (a).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de
sobre
, ou seja
, onde foram dados os vetores
Lista das informações relevantes:
A tarefa é calcular o vetor projeção de
na direção de
.
Passo 2
Conceito e fórmula da projeção ortogonal — o que é e por que usar:
A projeção ortogonal de sobre
é o vetor na direção de
que representa a componente de
paralela a
. A fórmula padrão é
A projeção ortogonal de
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (dot product) entre e . -
é o comprimento (norma) de , e é o quadrado desse comprimento. - O coeficiente
é um número escalar que diz quanto de cabe em .
Vou calculare passo a passo.
Passo 3
Produto escalar — definição e cálculo:
Para vetores em , o produto escalar é
Para vetores em
Aplicando aos dados:
Passo 4
Norma de
e seu quadrado:
A norma ao quadrado pode ser obtida pelo produto escalar de consigo mesmo:
A norma ao quadrado pode ser obtida pelo produto escalar de
Passo 5
Calcular o coeficiente escalar da projeção:
Interpretação: o componente de
na direção de
equivale exatamente a
vez o vetor
.
Passo 6
Multiplicar o coeficiente por
para obter a projeção:
Verificação útil (para sua confiança): a componente perpendicular é
. Conferimos que isso é ortogonal a
porque
ou seja, a diferença é realmente perpendicular a
, como deve ser.