Considere a transformação linear \mathrm{T}: \mathrm{R}^{\wedge} 2 \rightarrow \mathrm{R} \wedge 2 dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(-\mathrm{y}, \mathrm{x}). Prove que T é uma isometria (preserva normas/distâncias) e descreva geometricamente sua ação.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
\mathrm{T}(x,y)=(-y,x).
Pede-se (1) provar que \mathrm{T} é uma isometria (isto é, preserva normas/distâncias) e (2) descrever geometricamente a ação de \mathrm{T}. As informações relevantes são: domínio e contradomínio são \mathbb{R}^2 e a fórmula explícita de \mathrm{T}.

Passo 2

Primeiro mostro que \mathrm{T} é linear (isso será útil para propriedades seguintes). Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(x_1+x_2,y_1+y_2)=(-(y_1+y_2),\,x_1+x_2)=(-y_1,x_1)+(-y_2,x_2)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v),
e
\mathrm{T}(\alpha u)=\mathrm{T}(\alpha x_1,\alpha y_1)=(-\alpha y_1,\alpha x_1)=\alpha(-y_1,x_1)=\alpha\mathrm{T}(u).
Logo \mathrm{T} é linear. Em base canônica, a matriz de \mathrm{T} é
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
pois \mathrm{T}(1,0)=(0,1) e \mathrm{T}(0,1)=(-1,0).]

Passo 3

Vou lembrar a definição que usarei: para v=(x,y)\in\mathbb{R}^2 a norma euclidiana e o produto interno são
\|v\|^2=\langle v,v\rangle = x^2+y^2,
onde \langle u,v\rangle = x_1x_2+y_1y_2 para u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2). Uma transformação linear que preserva norma para todo vetor preserva distâncias entre pontos porque
\|T(u)-T(v)\|=\|T(u-v)\|=\|u-v\|.

Passo 4

Calculo a norma de \mathrm{T}(x,y). Para v=(x,y) tem-se
\mathrm{T}(v)=(-y,x),
então
\|\mathrm{T}(v)\|^2 = (-y)^2 + x^2 = y^2 + x^2 = x^2 + y^2 = \|v\|^2.
Como \|\mathrm{T}(v)\|=\|v\| para todo v, \mathrm{T} preserva normas. Pelo raciocínio do Passo 3, isso implica que \mathrm{T} preserva distâncias: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2,
\|\mathrm{T}(u)-\mathrm{T}(v)\|=\|\mathrm{T}(u-v)\|=\|u-v\|.
Portanto \mathrm{T} é uma isometria.

Passo 5

Mostro também que \mathrm{T} preserva o produto interno (isso é uma forma forte de isometria). Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
\langle \mathrm{T}(u),\mathrm{T}(v)\rangle = (-y_1)(-y_2) + x_1x_2 = y_1y_2 + x_1x_2 = x_1x_2+y_1y_2 = \langle u,v\rangle.
Preservação do produto interno implica preservação de ângulos e de normas. Em termos matriciais, isso equivale a A^{\!T}A=I, ou seja, A é uma matriz ortogonal; de fato pode-se checar diretamente que
A^{\!T}A=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora a descrição geométrica. Verifico a ação sobre vetores básicos:
\mathrm{T}(1,0)=(0,1),\qquad \mathrm{T}(0,1)=(-1,0).
Isto corresponde a virar o eixo x para o eixo y, e o eixo y para o eixo negativo x. Em coordenadas polares, se v=r(\cos\theta,\sin\theta) então
\mathrm{T}(v)=r(-\sin\theta,\cos\theta)=r(\cos(\theta+\tfrac{\pi}{2}),\,\sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})).
Logo \mathrm{T} soma \tfrac{\pi}{2} ao ângulo polar: é uma rotação de +\tfrac{\pi}{2} radianos (isto é, 90^\circ) em torno da origem. Como \det A=1, essa rotação preserva orientação (não é reflexão).

Passo 7

Resumo das propriedades já demonstradas: \mathrm{T} é linear, preserva produto interno e normas, logo é isometria e, geometricamente, é a rotação de \tfrac{\pi}{2} radianos ( 90^\circ) no sentido anti-horário em torno da origem de \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathrm{T} é isometria: \|\mathrm{T}(v)\|=\|v\| para todo v\in\mathbb{R}^2 (ou equivalentemente \langle \mathrm{T}(u),\mathrm{T}(v)\rangle=\langle u,v\rangle).\n
Geometricamente: \mathrm{T} é a rotação de ângulo \tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ) no sentido anti-horário em torno da origem.

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