Considere a transformação linear
dada por
. Prove que T é uma isometria (preserva normas/distâncias) e descreva geometricamente sua ação.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Pede-se (1) provar que
é uma isometria (isto é, preserva normas/distâncias) e (2) descrever geometricamente a ação de
. As informações relevantes são: domínio e contradomínio são
e a fórmula explícita de
.
Passo 2
Primeiro mostro que
é linear (isso será útil para propriedades seguintes). Seja
e
em
e
. Então
e
Logo
é linear. Em base canônica, a matriz de
é
pois
e
.]
Passo 3
Vou lembrar a definição que usarei: para
a norma euclidiana e o produto interno são
onde
para
,
. Uma transformação linear que preserva norma para todo vetor preserva distâncias entre pontos porque
Passo 4
Calculo a norma de
. Para
tem-se
então
Como
para todo
,
preserva normas. Pelo raciocínio do Passo 3, isso implica que
preserva distâncias: para quaisquer
,
Portanto
é uma isometria.
Passo 5
Mostro também que
preserva o produto interno (isso é uma forma forte de isometria). Seja
e
. Então
Preservação do produto interno implica preservação de ângulos e de normas. Em termos matriciais, isso equivale a
, ou seja,
é uma matriz ortogonal; de fato pode-se checar diretamente que
Passo 6
Agora a descrição geométrica. Verifico a ação sobre vetores básicos:
Isto corresponde a virar o eixo
para o eixo
, e o eixo
para o eixo negativo
. Em coordenadas polares, se
então
Logo
soma
ao ângulo polar: é uma rotação de
radianos (isto é,
) em torno da origem. Como
, essa rotação preserva orientação (não é reflexão).
Passo 7
Resumo das propriedades já demonstradas:
é linear, preserva produto interno e normas, logo é isometria e, geometricamente, é a rotação de
radianos (
) no sentido anti-horário em torno da origem de
.
Resposta
Geometricamente: