6 Considere:

m=2 \mathrm{~kg}, \quad c=6 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}, \quad k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
e a força:
F(t)=8 \cos (5 t)
Com condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine:
a. A solução homogênea.
b. A solução particular.
c. As constantes integrais A e B.
d. A solução completa x(t).

Passo 1

O enunciado dá os parâmetros e a força externa e pede quatro coisas (vou listar direitinho o que é pedido e os dados que temos):
  • Dados: m=2\\ \text{kg},\qquad c=6\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m},\qquad k=50\\ \text{N}/\text{m},
F(t)=8\cos(5t),
condições iniciais:
x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=0{,}2\\ \text{m/s}.
  • Equação diferencial do sistema (modelo massa-mola-amortecedor): m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t).
  • O que se pede:
    (a) a solução homogênea x_h(t);
    (b) uma solução particular x_p(t);
    (c) as constantes integrais A e B (vindas da homogênea) usando as condições iniciais;
    (d) a solução completa x(t)=x_h(t)+x_p(t).

Passo 2

Formar a equação com os números e obter a equação característica (isto resolve a parte homogênea).
  • Escrevendo a EDO com os valores: 2\ddot{x}+6\dot{x}+50x=8\cos(5t).Para a homogênea anulamos o lado direito: 2\ddot{x}+6\dot{x}+50x=0.
  • Dividindo por 2 para simplificar: \ddot{x}+3\dot{x}+25x=0.
  • A equação característica é obtida substituindo x\sim e^{rt}: r^{2}+3r+25=0.Calcular as raízes: o discriminante é \Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot25=9-100=-91, negativo, portanto raízes complexas conjugadas: r=\frac{-3\pm i\sqrt{91}}{2}.
  • Interpretando: escrevendo r=\alpha\pm i\omega_d obtemos \alpha=-\frac{3}{2},\qquad \omega_d=\frac{\sqrt{91}}{2}.Como as raízes são complexas a solução homogênea tem a forma exponencial amortecida com cosseno e seno.

Passo 3

Escrever a solução homogênea explicitamente (resposta do item (a)) e explicar o que cada termo significa.
  • A forma geral da solução homogênea quando as raízes são \alpha\pm i\omega_d é x_h(t)=e^{\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr).
  • Substituindo \alpha e \omega_d encontrados: x_h(t)=e^{-3t/2}\left(A\cos\!\left(\frac{\sqrt{91}}{2}t\right)+B\sin\!\left(\frac{\sqrt{91}}{2}t\right)\right).
  • Interpretação rápida (útil na prova): e^{-3t/2} é o decaimento exponencial causado pelo amortecimento; \dfrac{\sqrt{91}}{2} é a frequência de oscilação amortecida.

Passo 4

Escolher uma forma para a solução particular (método dos coeficientes indeterminados) e justificar a escolha.
  • O forçamento é 8\cos(5t). Uma tentativa típica é x_p(t)=C\cos(5t)+D\sin(5t),com C,D constantes a determinar. Justificação curta: forçamento é combinação de cosseno e seno com frequência 5, então tentamos essa forma. É importante checar se essa forma colide com a solução homogênea (caso de “ressonância” no sentido do método). A frequência da parte oscilatória da homogênea é \omega_d=\dfrac{\sqrt{91}}{2}\approx4{,}77, que não é igual a 5, portanto não há necessidade de multiplicar por t; a tentativa simples é válida.

Passo 5

Calcular x_p, derivadas e igualar coeficientes para encontrar C e D (resposta do item (b)).
  • Derivadas de x_p: \dot{x}_p(t)=-5C\sin(5t)+5D\cos(5t),
\ddot{x}_p(t)=-25C\cos(5t)-25D\sin(5t).
  • Substituir em 2\ddot{x}+6\dot{x}+50x (a equação original) e coletar coeficientes de \cos(5t) e \sin(5t): 2\ddot{x}_p+6\dot{x}_p+50x_p
=2(-25C\cos-25D\sin)+6(-5C\sin+5D\cos)+50(C\cos+D\sin).
Agrupando termos em \cos(5t) e \sin(5t):
\cos(5t):\quad -50C+30D+50C=30D,
\sin(5t):\quad -50D-30C+50D=-30C.
Logo a esquerda vira
30D\cos(5t)-30C\sin(5t).
  • Igualando ao lado direito 8\cos(5t)+0\sin(5t) obtemos o sistema 30D=8,\qquad -30C=0.Portanto C=0,\qquad D=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.
  • Conclusão (item (b)): x_p(t)=\frac{4}{15}\sin(5t).

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para encontrar A e B (item (c)), calculando x(0) e \dot{x}(0).
  • A solução completa é x(t)=x_h(t)+x_p(t), ou seja x(t)=e^{-3t/2}\left(A\cos\!\left(\frac{\sqrt{91}}{2}t\right)+B\sin\!\left(\frac{\sqrt{91}}{2}t\right)\right)+\frac{4}{15}\sin(5t).
  • Usar x(0)=0. Avaliando em t=0: x(0)=A+\frac{4}{15}\cdot 0=A=0.Logo A=0.
  • Calcular \dot{x}(t) para usar \dot{x}(0)=0{,}2. Primeiro derivada da parte homogênea (produto regra); para clareza escrevo a derivada e avalio em t=0.
    Derivada completa: \dot{x}_h(t)= -\frac{3}{2}e^{-3t/2}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr) +e^{-3t/2}\bigl(-A\omega_d\sin(\omega_d t)+B\omega_d\cos(\omega_d t)\bigr),com \omega_d=\dfrac{\sqrt{91}}{2}.
    Em t=0 (e lembrando que \cos0=1,\\ \sin0=0): \dot{x}_h(0)=-\frac{3}{2}A+B\omega_d.Como A=0 isso fica \dot{x}_h(0)=B\omega_d.
  • Derivada da particular: \dot{x}_p(t)=\frac{4}{15}\cdot 5\cos(5t)=\frac{4}{3}\cos(5t),então \dot{x}_p(0)=\frac{4}{3}.
  • Portanto \dot{x}(0)=\dot{x}_h(0)+\dot{x}_p(0)=B\omega_d+\frac{4}{3}. Igualando à condição \dot{x}(0)=\dfrac{1}{5} (lembre: 0{,}2=\dfrac{1}{5}): B\omega_d+\frac{4}{3}=\frac{1}{5}.Isolando B: B=\frac{\dfrac{1}{5}-\dfrac{4}{3}}{\omega_d}=\frac{\dfrac{3-20}{15}}{\omega_d}=\frac{-17/15}{\omega_d}=-\frac{17}{15\omega_d}.Substituindo \omega_d=\dfrac{\sqrt{91}}{2}: B=-\frac{17}{15}\cdot\frac{2}{\sqrt{91}}=-\frac{34}{15\sqrt{91}}.Valor numérico aproximado: B\approx -0{,}237645\ldots

Passo 7

Escrever a solução completa final (item (d)) juntando tudo e deixar em forma explícita.
  • Sabendo A=0 e B=-\dfrac{34}{15\sqrt{91}}, a solução completa é x(t)=e^{-3t/2}\left(-\frac{34}{15\sqrt{91}}\sin\!\left(\frac{\sqrt{91}}{2}t\right)\right)+\frac{4}{15}\sin(5t).Ou de forma limpa: x(t)=-\frac{34}{15\sqrt{91}}\,e^{-3t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{91}}{2}t\right)+\frac{4}{15}\sin(5t).(se preferir a forma numérica para B: x(t)\approx -0{,}237645\,e^{-1{,}5t}\sin(4{,}769696\,t)+0{,}266666\sin(5t).)

Resposta

a. x_h(t)=e^{-3t/2}\left(A\cos\!\left(\dfrac{\sqrt{91}}{2}t\right)+B\sin\!\left(\dfrac{\sqrt{91}}{2}t\right)\right)
b. x_p(t)=\dfrac{4}{15}\sin(5t)
c. A=0,\qquad B=-\dfrac{34}{15\sqrt{91}}\\ \\ (\approx -0{,}237645)
d. x(t)=-\dfrac{34}{15\sqrt{91}}\,e^{-3t/2}\sin\!\left(\dfrac{\sqrt{91}}{2}t\right)+\dfrac{4}{15}\sin(5t)

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