6 Considere:
e a força:
Com condições iniciais
e
, determine:
a. A solução homogênea.
b. A solução particular.
c. As constantes integrais
e
.
d. A solução completa
.
a. A solução homogênea.
b. A solução particular.
c. As constantes integrais
d. A solução completa
Passo 1
O enunciado dá os parâmetros e a força externa e pede quatro coisas (vou listar direitinho o que é pedido e os dados que temos):
- Dados:
condições iniciais:
- Equação diferencial do sistema (modelo massa-mola-amortecedor):
- O que se pede:
(a) a solução homogênea;
(b) uma solução particular;
(c) as constantes integraise (vindas da homogênea) usando as condições iniciais;
(d) a solução completa.
Passo 2
Formar a equação com os números e obter a equação característica (isto resolve a parte homogênea).
- Escrevendo a EDO com os valores:
Para a homogênea anulamos o lado direito: - Dividindo por
para simplificar: - A equação característica é obtida substituindo
: Calcular as raízes: o discriminante é , negativo, portanto raízes complexas conjugadas: - Interpretando: escrevendo
obtemos Como as raízes são complexas a solução homogênea tem a forma exponencial amortecida com cosseno e seno.
Passo 3
Escrever a solução homogênea explicitamente (resposta do item (a)) e explicar o que cada termo significa.
- A forma geral da solução homogênea quando as raízes são
é - Substituindo
e encontrados: - Interpretação rápida (útil na prova):
é o decaimento exponencial causado pelo amortecimento; é a frequência de oscilação amortecida.
Passo 4
Escolher uma forma para a solução particular (método dos coeficientes indeterminados) e justificar a escolha.
- O forçamento é
. Uma tentativa típica é com constantes a determinar. Justificação curta: forçamento é combinação de cosseno e seno com frequência , então tentamos essa forma. É importante checar se essa forma colide com a solução homogênea (caso de “ressonância” no sentido do método). A frequência da parte oscilatória da homogênea é , que não é igual a , portanto não há necessidade de multiplicar por ; a tentativa simples é válida.
Passo 5
Calcular
, derivadas e igualar coeficientes para encontrar
e
(resposta do item (b)).
- Derivadas de
:
- Substituir em
(a equação original) e coletar coeficientes de e :
Agrupando termos em
e
:
Logo a esquerda vira
- Igualando ao lado direito
obtemos o sistema Portanto - Conclusão (item (b)):
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para encontrar
e
(item (c)), calculando
e
.
- A solução completa é
, ou seja - Usar
. Avaliando em : Logo . - Calcular
para usar . Primeiro derivada da parte homogênea (produto regra); para clareza escrevo a derivada e avalio em .
Derivada completa:com .
Em(e lembrando que ): Como isso fica . - Derivada da particular:
então . - Portanto
. Igualando à condição (lembre: ): Isolando : Substituindo : Valor numérico aproximado:
Passo 7
Escrever a solução completa final (item (d)) juntando tudo e deixar em forma explícita.
- Sabendo
e , a solução completa é Ou de forma limpa: (se preferir a forma numérica para : .)
Resposta
a.
b.
c.
d.